第56讲空间向量的应用(一)1．已知PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为矩形，PA＝AD，M、N分别是AB、PC的中点，求证：(1)MN∥平面PAD；(2)平面PMC⊥平面PDC.建立空间直角坐标系A(O)xyz如图：设|PA|＝|AD|＝b，|AB|＝a，则B(a,0,0)，C(a，b,0)，D(0，b,0)，P(0,0，b)，因为M、N分别为AB、PC的中点，所以M(，0,0)，N(，，)．(1)因为MN＝(0，，)，显然MN＝AD＋AP，所以MN与AD、AP共面，因为MN⊄平面PAD，所以MN∥平面PAD.(2)因为DC＝(a,0,0)，DP＝(0，－b，b)所以MN·DC＝0，MN·DP＝0，即MN⊥DC，MN⊥DP⇒MN⊥平面PDC，又MN⊂平面PMC，所以平面PMC⊥平面PDC.2．如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB＝，AF＝1，M是线段EF的中点．(1)求证：AM∥平面BDE；(2)求证：AM⊥平面BDF.(1)建立如图所示的空间直角坐标系．设AC∩BD＝N，连接NE，则点N、E的坐标分别是(，，0)、(0,0,1)，所以NE＝(－，－，1)，又点A、M的坐标分别是(，，0)，(，，1)，所以AM＝(－，－，1)．所以NE＝AM，且NE与AM不共线，所以NE∥AM.又因为NE⊂平面BDE，AM⊄平面BDE，所以AM∥平面BDE.(2)由(1)知AM＝(－，－，1)，因为D(，0,0)，F(，，1)，所以DF＝(0，，1)，所以AM·DF＝0，所以AM⊥DF，所以AM⊥DF，同理AM⊥BF.又DF∩BF＝F，所以AM⊥平面BDF.3．如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E是棱DD1的中点．在棱C1D1上是否存在一点F，使B1F∥平面A1BE？证明你的结论．设正方体的棱长为1，如图所示，以AB，AD，AA1为单位正交基底建立空间直角坐标系，依题意，得B(1,0,0)，A1(0,0,1)，E(0,1，)，所以BA1＝(－1,0,1)，BE＝(－1,1，)，设n＝(x，y，z)是平面A1BE的一个法向量，则由n·BA1＝0，n·BE＝0得所以x＝z，y＝z，令z＝2得，n＝(2,1,2)，设F是棱C1D1上的一点，则F(t,1,1)(0≤t≤1)，又B1(1,0,1)，所以B1F＝(t－1,1,0)，而B1F⊄平面A1BE，于是，B1F∥平面A1BE⇔B1F·n＝0⇔(t－1,1,0)·(2,1,2)＝0，所以2(t－1)＋1＝0，得t＝，故F是C1D1的中点，这说明在棱C1D1上存在一点F(C1D1的中点)，使B1F∥平面A1BE.4．如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，AA1＝4.(1)求证：AC⊥BC1；(2)在AB上是否存在点D，使AC1⊥CD?(3)在AB上是否存在点D，使得AC1∥平面CDB1?在直三棱柱ABCA1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，AC，BC，CC1两两垂直，以C为坐标原点，CA，CB，CC1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，则C(0,0,0)，A(3，0,0)，C1(0,0,4)，B(0,4,0)，B1(0,4,4)．(1)证明：AC＝(－3,0,0)，BC1＝(0，－4,4)，因为AC·BC1＝0，所以AC⊥BC1.所以AC⊥BC1.(2)假设在AB上存在点D，使得AC1⊥CD，则AD＝λAB＝(－3λ，4λ，0)，其中0≤λ≤1，则D(3－3λ，4λ，0)．于是CD＝(3－3λ，4λ，0)．由于AC1＝(－3,0,4)，且AC1⊥CD，所以－9＋9λ＝0，得λ＝1.所以在AB上存在点D，使得AC1⊥CD，且这时点D与点B重合．(3)假设在AB上存在点D，使得AC1∥平面CDB1，则AD＝λAB＝(－3λ，4λ，0)，其中0≤λ≤1，则D(3－3λ，4λ，0)．B1D＝(3－3λ，4λ－4，－4)．又B1C＝(0，－4，－4)，由于AC1＝(－3,0,4)，AC1∥平面CDB1，所以存在实数m，n，使AC1＝mB1D＋nB1C成立，所以所以λ＝.所以在AB上存在点D，使得AC1∥平面CDB1，且D是AB的中点．
