2017-2018第一学期高三数学（理12月）提高卷1.(15分)已知中心在原点，焦点在轴上的椭圆过点，离心率为，，是椭圆的长轴的两个端点（位于右侧），是椭圆在轴正半轴上的顶点.（1）求椭圆的标准方程；（2）是否存在经过点且斜率为的直线与椭圆交于不同两点和，使得向量与共线？如果存在，求出直线方程；如果不存在，请说明理由.2.（15分）已知函数，函数的导函数为．⑴若直线与曲线恒相切于同一定点，求的方程；⑵若，求证：当时，恒成立；⑶若当时，恒成立，求实数的取值范围．答案:1．（1）（2）不存在【解析】试题分析：（1）依题意得解得，.所以椭圆的方程为.（2）假设存在过点且斜率为的直线适合题意，则因为直线的方程为：，于是联立方程，.由直线与椭圆交于不同两点和知，，.令，，，由韦达定理得出结论，，根据向量与共线，可得，，这与矛盾.试题解析：（1）设椭圆的方程为，.依题意得解得，.所以椭圆的方程为.（2）假设存在过点且斜率为的直线适合题意，则因为直线的方程为：，于是联立方程，.由直线与椭圆交于不同两点和知，，.令，，，，，，由题知，，.从而，根据向量与共线，可得，，这与矛盾.……14分2．(1);(2)详见解析;(3).【解析】试题分析：（1）由直线与曲线恒相切于同一定点转化为曲线必恒过定点，即可求出切线的方程（2）构造，研究的单调性，从而证明当时，恒成立（3）按照题目意思构造，求导后进行分类讨论，当时、当时和当时三种情况，求得实数的取值范围解析：⑴因为直线与曲线恒相切于同一定点，所以曲线必恒过定点，由，令，得，故得曲线恒过的定点为.因为，所以切线的斜率，故切线的方程为，即.⑵因为，所以令，，设，，在上单调递增，当时，，即在上恒成立，在上单调递增，因为，故当时，即恒成立；⑶令，则.，，①当时，因为，所以在上单调递增，故，因为当时，，所以在上单调递增，故.从而，当时，恒成立.②当时，由⑵可得，所以在上单调递增，故.从而，当时，恒成立.③当时，在上单调递增，所以当时，在内取得最小值.故必存在实数，使得在上，即在上单调递减，所以当时，，所以在上单调递减，此时存在，使得，不符合题设要求.综上①②③所述，得的取值范围是.说明：③也可以按以下方式解答：当时，在上单调递增，所以当时，在内取得最小值，当时，，所以，故存在，使得，且当时，，下同前述③的解答.
