直线的倾斜角与斜率一、课标解读1．在平面直角坐标系中，结合具体图形，探索确定直线位置的几何要素；2．理解直线的倾斜角和斜率的概念，经历由代数方法刻画直线斜率的过程，掌握过两点的直线斜率的计算公式；3．能根据斜率判定两直线平行或垂直。二、要点点拨1．直线的倾斜角当直线与轴相交时，我们取轴作为基准，轴正向与直线向上方向之间所成的角叫做直线的倾斜角。当直线和轴平行或重合时，我们规定它的倾斜角为，因此直线倾斜角的取值范围为。注意：（1）清楚定义中的三个条件：①直线向上方向；②轴的正方向；③小于平角的角。（2）倾斜角是一个几何概念，它直观地描述且表现了直线对轴正方向的倾斜程度。（3）平面直角坐标系中每一条直线都有一个确定的倾斜角，且倾斜程度相同的直线，其倾斜角相等；倾斜程度不同的直线，其倾斜角不相等。（4）确定平面直角坐标系中一条直线位置的几何要素是：直线上的一个定点以及它的倾斜角，二者缺一不可。2．直线的斜率我们把一条直线的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率。斜率常用小写字母表示，即。注意：（1）当倾斜角是时，直线的斜率不存在，并不是该直线不存在，此时直线垂直于轴（或平行于轴或与轴重合）。（2）所有的直线都有倾斜角，但不是所有的直线都有斜率。（3）直线的斜率也反映了直线相对于轴的正方向的倾斜程度，斜率的绝对值越大，直线的倾斜程度就越大。3．斜率公式经过两点，的直线的斜率公式为。注意：（1）斜率公式表明直线相对于轴的倾斜程度，可以通过直线上任意两点的坐标表示，比使用几何的方法求出倾斜角再求斜率的方法方便。（2）斜率公式与两点的顺序无关，即两纵坐标和横坐标在公式中的次序可以同时调换，就是说，如果分子是，分母必须是；反过来，如果分子是用心爱心专心，分母必须是。（3）如果，，则直线与轴平行或重合，；如果，，则直线与轴垂直，倾斜角等于，不存在。4．两条直线平行的判定对于两条不重合的直线，，其斜率分别为，，有。注意：（1）公式成立的前提条件是：①两条直线的斜率存在，分别为，；②与不重合。（2）当两条直线的斜率都不存在时，与的倾斜角都是，则//。5．两条直线垂直的判定如果两条直线都有斜率，且它们互相垂直，那么它们的斜率之积等于；反之，如果它们的斜率之积等于，那么它们互相垂直。即。注意：（1）两条直线垂直的条件是斜率都存在且不等于零。（2）两条直线中，一条斜率不存在，同时另一条斜率等于零，则两条直线垂直。二、范例剖析例1经过下列两点的直线的斜率是否存在？如果存在，求其斜率。（1）（1，）、（，2）；（2）（3，4）、（，5）；（3）（5，0）、（5，）。分析：当倾斜角时，斜率不存在；当时，。解析：（1）；（2）；（3）倾斜角，∴不存在。评注：本题主要考查斜率公式的基本应用。例2已知三点、、在同一直线上，求的值。分析：根据斜率公式可进行求解。解析：由得，。评注：利用斜率可研究三点共线问题。用心爱心专心例3若已知直线上的点满足，直线上的点满足，试求为何值时，（1）；（2）。分析：在上取两个点，就可以写出的斜率，同理写出的斜率，再根据题意列方程求解。解析：在上取点，，则；在上取点，，则。（1）时，，∴，解得，。当时，的方程为，即；的方程为，则与重合，∴应将舍去。（2）时，由得，解得。综上可知，时，；时，。评注：解答本题的关键在于在直线上取点的坐标。用心爱心专心
