第七节数学归纳法数学归纳法:对于某些与正整数n有关的命题常常采用下面的方法来证明它的正确性.先证明当n取第一个值n0时命题成立;然后假设当n=k(k∈N*,k≥n0)时命题成立,证明当n=k+1时命题也成立.这种证明方法就叫做数学归纳法.用数学归纳法证明一个与正整数(或自然数)有关的命题的步骤:(1)(归纳奠基)证明当n取第一个值n0(例如n0=1,n0=2等)时结论正确;(2)(归纳递推)假设当n=k(k∈N*,且k≥n0)时结论正确,证明当n=k+1时结论也正确.由(1),(2)可知,命题对于从n0开始的所有正整数n都正确.用数学归纳法来证明与正整数有关的命题时,要注意:递推基础不可少,归纳假设要用到,结论写明莫忘掉.1.用数学归纳法证明“2n>n2+1对于n≥n0的正整数n都成立”时,第一步证明中的起始值n0应取(C)A.2B.3C.5D.6解析:当n≤4时,2n>n2+1不成立,n≥5时,2n>n2+1成立,所以取n0=5.2.下列代数式中(其中k∈N*),能被9整除的是(C)A.6+6×7kB.2+7k-1C.3(2+7k)D.2(2+7k+1)解析:(1)当k=1时,显然只有3(2+7k)能被9整除.(2)假设当k=n(n∈N*)命题成立,即3(2+7n)能被9整除,那么3(2+7n+1)=21(2+7n)-36,这就说明,当k=n+1时命题也成立.故选C.3.(2013·厦门质检)观察下列不等式:1>,1++>1,1+++…+>,1+++…+>2,1+++…+>,…,由此猜测第n个不等式为1+++…+>(n∈N*).解析:3=22-1,7=23-1,15=24-1,可猜测:1+++…+>.4.在数列{an}中,a1=,且Sn=n(2n-1)an,通过计算a2,a3,a4,猜想an的表达式是an=(n∈N*).解析:a1==,a2==,a3==,猜想an=.1高考方向1.高考对数学归纳法较少单独考查,一般和合情推理、数列、不等式、平面几何等知识结合,在知识交汇点处命题.2.题型以解答题为主,难度中等偏上.1.已知f(x)=.(1)若x≥1时,证明:f(x)≥lnx;(2)证明:1+++…+>ln(n+1)+(n≥1).证明:(1)设g(x)=f(x)-lnx=--lnx(x≥1),则g′(x)=-+==≥0(x≥1),所以g(x)在[1,+∞)上单调递增,即当x≥1时,g(x)≥g(1)=0,即f(x)≥lnx.(2)方法一由(1)有f(x)=≥lnx(x≥1),且当x>1时,>lnx.令x=,有ln<[-]=[-],即ln(k+1)-lnk<,k=1,2,3,…,n.将上述n个不等式依次相加,得ln(n+1)<+(++…+)+.整理得1+++…+>ln(n+1)+.方法二用数学归纳法证明.①当n=1时,左边=1,右边=ln2+<1,不等式成立.②假设n=k(k≥1,k∈N*)时,不等式成立,即1+++…+>ln(k+1)+.那么n=k+1时,1+++…++>ln(k+1)++=ln(k+1)+.由(1)有f(x)=≥lnx(x≥1).令x=,得≥ln=ln(k+2)-ln(k+1).∴ln(k+1)+≥ln(k+2)+.∴1+++…++>ln(k+2)+.这就是说,当n=k+1时,不等式也成立.根据①,②,可知不等式对任何n∈N*都成立.2.函数f(x)=x2-2x-3.定义数列{xn}如下:x1=2,xn+1是过两点P(4,5),Qn(xn,f(xn))的直线PQn与x轴交点的横坐标.(1)证明:2≤xn0,即xn