山东省济宁市高三数学一轮复习 专项训练 数列求和（含解析）-人教版高三全册数学试题VIP专享VIP免费

考点一分组转化法求和1、已知数列{an}的通项公式是an＝2·3n－1＋(－1)n(ln2－ln3)＋(－1)nnln3，求其前n项和Sn.解Sn＝2(1＋3＋…＋3n－1)＋[－1＋1－1＋…＋(－1)n](ln2－ln3)＋[－1＋2－3＋…＋(－1)nn]ln3，所以当n为偶数时，Sn＝2×＋ln3＝3n＋ln3－1；当n为奇数时，Sn＝2×－(ln2－ln3)＋ln3＝3n－ln3－ln2－1.综上所述，Sn＝2、在等比数列{an}中，已知a1＝3，公比q≠1，等差数列{bn}满足b1＝a1，b4＝a2，b13＝a3.(1)求数列{an}与{bn}的通项公式；(2)记cn＝(－1)nbn＋an，求数列{cn}的前n项和Sn.解(1)设等比数列{an}的公比为q，等差数列{bn}的公差为d.由已知，得a2＝3q，a3＝3q2，b1＝3，b4＝3＋3d，b13＝3＋12d，故⇒⇒q＝3或1(舍去)．所以d＝2，所以an＝3n，bn＝2n＋1.(2)由题意，得cn＝(－1)nbn＋an＝(－1)n(2n＋1)＋3n，Sn＝c1＋c2＋…＋cn＝(－3＋5)＋(－7＋9)＋…＋[(－1)n－1(2n－1)＋(－1)n(2n＋1)]＋3＋32＋…＋3n.当n为偶数时，Sn＝n＋－＝＋n－；当n为奇数时，Sn＝(n－1)－(2n＋1)＋－＝－n－.所以Sn＝3．若数列{an}的通项公式为an＝2n＋2n－1，则数列{an}的前n项和为()．A．2n＋n2－1B．2n＋1＋n2－1C．2n＋1＋n2－2D．2n＋n－2解析Sn＝＋＝2n＋1－2＋n2.答案C4．数列{an}的前n项和为Sn，已知Sn＝1－2＋3－4＋…＋(－1)n－1·n，则S17＝()．A．9B．8C．17D．16解析S17＝1－2＋3－4＋5－6＋…＋15－16＋17＝1＋(－2＋3)＋(－4＋5)＋(－6＋7)＋…＋(－14＋15)＋(－16＋17)＝1＋1＋1＋…＋1＝9.答案A5．已知等比数列{an}满足2a1＋a3＝3a2，且a3＋2是a2，a4的等差中项．(1)求数列{an}的通项公式；(2)若bn＝an＋log2，Sn＝b1＋b2＋…＋bn，求使Sn－2n＋1＋47<0成立的n的最小值．解(1)设等比数列{an}的公比为q，依题意，有即由①得q2－3q＋2＝0，解得q＝1或q＝2.当q＝1时，不合题意，舍去；1当q＝2时，代入②得a1＝2，所以an＝2·2n－1＝2n.故所求数列{an}的通项公式an＝2n(n∈N*)．(2)bn＝an＋log2＝2n＋log2＝2n－n.所以Sn＝2－1＋22－2＋23－3＋…＋2n－n＝(2＋22＋23＋…＋2n)－(1＋2＋3＋…＋n)＝－＝2n＋1－2－n－n2.因为Sn－2n＋1＋47<0，所以2n＋1－2－n－n2－2n＋1＋47<0，即n2＋n－90>0，解得n>9或n<－10.因为n∈N*，故使Sn－2n＋1＋47<0成立的正整数n的最小值为10.6．已知在正项等比数列{an}中，a1＝1，a2a4＝16，则|a1－12|＋|a2－12|＋…＋|a8－12|＝()．A．224B．225C．226D．256解析由a2a4＝a＝16，解得a3＝4，又a1＝1，∴q2＝4，∴q＝2，∴an＝2n－1，令2n－1≥12，解得n的最小值为5.∴|a1－12|＋|a2－12|＋…＋|a8－12|＝12－a1＋12－a2＋12－a3＋12－a4＋a5－12＋a6－12＋a7－12＋a8－12＝－(a1＋a2＋a3＋a4)＋(a5＋a6＋a7＋a8)＝－15＋240＝225.答案B考点二：裂项相消法求和1、正项数列{an}的前n项和Sn满足：S－(n2＋n－1)Sn－(n2＋n)＝0.(1)求数列{an}的通项公式an；(2)令bn＝，数列{bn}的前n项和为Tn，证明：对于任意的n∈N*，都有Tn＜.解(1)由S－(n2＋n－1)Sn－(n2＋n)＝0，得[Sn－(n2＋n)](Sn＋1)＝0.由于{an}是正项数列，所以Sn＞0，Sn＝n2＋n.于是a1＝S1＝2，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2＋n－(n－1)2－(n－1)＝2n.综上，数列{an}的通项an＝2n.(2)证明由于an＝2n，bn＝，则bn＝＝.Tn＝＝＜＝.2、(2013·滨州一模)已知数列{an}的前n项和是Sn，且Sn＋an＝1(n∈N*)．(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝log(1－Sn＋1)(n∈N*)，令Tn＝＋＋…＋，求Tn.解(1)当n＝1时，a1＝S1，由S1＋a1＝1，得a1＝，当n≥2时，Sn＝1－an，Sn－1＝1－an－1，则Sn－Sn－1＝(an－1－an)，即an＝(an－1－an)，所以an＝an－1(n≥2)．故数列{an}是以为首项，为公比的等比数列．2故an＝·n－1＝2·n(n∈N*)．(2)因为1－Sn＝an＝n.所以bn＝log(1－Sn＋1)＝logn＋1＝n＋1，因为＝＝－，所以Tn＝＋＋…＋＝＋＋…＋＝－＝.3、已知数列{an}的前n项和是Sn，且Sn＋an＝1(n∈N*)．(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝log(1－Sn＋1)(n∈N*)，令Tn＝＋＋…＋，求Tn.解(1)当n＝1时，a1＝S1，由S1＋a1＝1，得a1＝，当n≥2时，Sn＝1－an，Sn－1＝1－an－1，则Sn－Sn－1＝(an－1－an)，...