【大高考】2017版高考数学一轮总复习第9章平面解析几何第3节椭圆及其性质高考AB卷理椭圆的定义及其方程1.(2014·大纲全国,6)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点为F1、F2,离心率为,过F2的直线l交C于A、B两点.若△AF1B的周长为4,则C的方程为()A.+=1B.+y2=1C.+=1D.+=1解析由椭圆的性质知|AF1|+|AF2|=2a,|BF1|+|BF2|=2a,∴△AF1B的周长=|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=4,∴a=.又e=,∴c=1.∴b2=a2-c2=2,∴椭圆的方程为+=1,故选A.答案A2.(2013·全国Ⅰ,10)已知椭圆E:+=1(a>b>0)的右焦点为F(3,0),过点F的直线交E于A,B两点.若AB的中点坐标为(1,-1),则E的方程为()A.+=1B.+=1C.+=1D.+=1解析设A(x1,y1),B(x2,y2), A,B在椭圆上,∴①-②,得+=0,即=-, AB的中点为(1,-1),∴y1+y2=-2,x1+x2=2,而=kAB==,∴=.又 a2-b2=9,∴a2=18,b2=9.∴椭圆E的方程为+=1,故选D.答案D3.(2012·大纲全国,3)椭圆的中心在原点,焦距为4,一条准线为x=-4,则该椭圆的方程为()A.+=1B.+=1C.+=1D.+=1解析 2c=4,∴c=2.又 =4,∴a2=8,b2=a2-c2=4.∴椭圆方程为+=1,故选C.答案C椭圆的几何性质4.(2016·全国Ⅲ,11)已知O为坐标原点,F是椭圆C:+=1(a>b>0)的左焦点,A,B分别为C的左,右顶点.P为C上一点,且PF⊥x轴.过点A的直线l与线段PF交于点M,与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点,则C的离心率为()A.B.C.D.解析设M(-c,m),则E,OE的中点为D,则D,又B,D,M三点共线,所以=,a=3c,e=.答案A5.(2012·全国,4)设F1,F2是椭圆E:+=1(a>b>0)的左、右焦点,P为直线x=上一点,△F2PF1是底角为30°的等腰三角形,则E的离心率为()A.B.C.D.解析设直线x=与x轴交于点M,则∠PF2M=60°,在Rt△PF2M中,PF2=F1F2=2c,F2M=-c,故cos60°===,解得=,故离心率e=.答案C6.(2016·全国Ⅱ,20)已知椭圆E:+=1的焦点在x轴上,A是E的左顶点,斜率为k(k>0)的直线交E于A,M两点,点N在E上,MA⊥NA.(1)当t=4,|AM|=|AN|时,求△AMN的面积;(2)当2|AM|=|AN|时,求k的取值范围.解(1)设M(x1,y1),则由题意知y1>0.当t=4时,E的方程为+=1,A(-2,0).由|AM|=|AN|及椭圆的对称性知,直线AM的倾斜角为.因此直线AM的方程为y=x+2.将x=y-2代入+=1得7y2-12y=0,解得y=0或y=,所以y1=.因此△AMN的面积S△AMN=2×××=.(2)由题意t>3,k>0,A(-,0),将直线AM的方程y=k(x+)代入+=1得(3+tk2)x2+2·tk2x+t2k2-3t=0.由x1·(-)=得x1=,故|AM|=|x1+|=.由题设,直线AN的方程为y=-(x+),故同理可得|AN|=.由2|AM|=|AN|得=,即(k3-2)t=3k(2k-1),当k=时上式不成立,因此t=.t>3等价于=<0,即<0.由此得或解得|AH|,仅当F1与H重合时,|AF1|=|AH|,∴当m=1时,△AFB的周长最大,此时S△FAB=×2×|AB|=3.答案34.(2016·四川,20)已知椭圆E:+=1(a>b>0)的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点,直线l:y=-x+3与椭圆E有...