第2讲基本初等函数、函数与方程及函数的应用一、选择题1．(2016·浙江卷)已知a，b＞0且a≠1，b≠1，若logab＞1，则()A．(a－1)(b－1)＜0B．(a－1)(a－b)＞0C．(b－1)(b－a)＜0D．(b－1)(b－a)＞0解析：法一logab＞1＝logaa，当a＞1时，b＞a＞1；当0＜a＜1时，0＜b＜a＜1，只有D正确．法二取a＝2，b＝3，排除A，B，C，故选D.答案：D2．(2015·安徽卷)下列函数中，既是偶函数又存在零点的是()A．y＝cosxB．y＝sinxC．y＝lnxD．y＝x2＋1解析：选项A、D中为偶函数，B、C项不是偶函数．又x2＋1＝0无解，函数y＝x2＋1无零点．所以y＝cosx为偶函数，且存在零点．答案：A3．(2017·菏泽二模)已知函数f(x)＝有两个不同的零点，则实数a的取值范围是()A．[1，0)B.(1，2]C．(1，＋∞)D．(2，＋∞)解析：当x≤2时，由－x2＋4x＝0，得x＝0.当x＞2时，令f(x)＝log2x－a＝0，得x＝2a.又f(x)有两个不同零点．所以2a≠0且2a＞2，解得a＞1.答案：C4．(2017·德阳一诊)将甲桶中的aL水缓慢注入空桶乙中，tmin后甲桶中剩余的水量符合指数衰减曲线y＝aent.假设过5min后甲桶和乙桶的水量相等，若再过mmin甲桶中的水只有L，则m的值为()A．5B．8C．9D．10解析：因为5min后甲桶和乙桶的水量相等，所以函数y＝f(t)＝aent满足f(5)＝ae5n＝a，可得n＝ln，所以f(t)＝a·.因此，当kmin后甲桶中的水只有L时，f(k)＝a·＝a，即＝，所以k＝10，由题意知m＝k－5＝5.答案：A5．函数f(x)＝若函数g(x)＝f(f(x))－a有三个不同的零点，则实数a的取值范围是()A．[0，＋∞)B．[0，1]C．(－1，0]D．[－1，＋∞)解析：设t＝f(x)，则a＝f(t)，在同一坐标系内作y＝a与y＝f(t)的图象(如图)当a≥－1时，两图象有两个交点，设交点横坐标为t1，t2且t1＜－1，t2≥－1.当t1＜－1时，t1＝f(x)有一解；t2≥－1时，t2＝f(x)有两解．综上可知，当a≥－1时，g(x)＝f(f(x))－a有三个不同零点．答案：D二、填空题6．(2016·浙江卷)已知a＞b＞1，若logab＋logba＝，ab＝ba，则a＝________，b＝________．解析：因为logab＋logba＝logab＋＝，所以logab＝或logab＝2.又a＞b＞1，知logab＝，则a＝b2.由于ab＝ba，即(b2)b＝bb2，所以2b＝b2，所以b＝2，从而a＝4.答案：427．我们把形如y＝(a＞0，b＞0)的函数因其图象类似于汉字中的“囧”字，故生动地称为“囧函数”，若当a＝1，b＝1时的“囧函数”与函数y＝lg|x|的交点个数为n，则n＝________．解析：由题意知，当a＝1，b＝1时，y＝＝在同一坐标系中画出“囧函数”与函数y＝lg|x|的图象如图所示，易知它们有4个交点，答案：48．(2017·沈阳质检)某驾驶员喝了m升酒后，血液中的酒精含量f(x)(毫克/毫升)随时间x(小时)变化的规律近似满足表达式f(x)＝《酒后驾车与醉酒驾车的标准及相应的处罚》规定：驾驶员血液中酒精含量不超过0.02毫克/毫升．此驾驶员至少要过________小时后才能开车．(不足1小时部分算1小时，结果精确到1小时)解析：因为0≤x≤1，所以－2≤x－2≤－1，所以5－2≤5x－2≤5－1，而5－2＞0.02，又由x＞1，得·≤，得≤，所以x≥4.故至少要过4小时后才能开车．答案：4三、解答题9．(2017·天津期末)已知函数f(x)＝ex－e－x(x∈R，且e为自然对数的底数)．(导学号54850095)(1)判断函数f(x)的单调性与奇偶性；(2)是否存在实数t，使不等式f(x－t)＋f(x2－t2)≥0对一切x∈R都成立？若存在，求出t；若不存在，请说明理由．解：(1)因为f(x)＝ex－，所以f′(x)＝ex＋，所以f′(x)＞0对任意x∈R都成立，所以f(x)在R上是增函数．又因为f(x)的定义域为R，且f(－x)＝e－x－ex＝－f(x)，所以f(x)是奇函数．(2)存在，由(1)知f(x)在R上是增函数和奇函数，则f(x－t)＋f(x2－t2)≥0对一切x∈R都成立，⇔f(x2－t2)≥f(t－x)对一切x∈R都成立，⇔x2－t2≥t－x对一切x∈R都成立，⇔t2＋t≤x2＋x＝2－对一切x∈R都成立，⇔t2＋t≤(x2＋x)min＝－⇔t2＋t＋＝≤0，又2≥0，所以＝0，所以t＝－.所以存在t＝－，使不等式f(x－t)＋f(x2－t2)≥0对一切x∈R都成立．10．(2017·山东实验中学月考)候鸟每年都要随季节的变化而进行大规模的迁徙，研究某种鸟类的专家发现，该种鸟类的飞行速度v(单位：m/s)与其耗氧量Q之间...
