第三节不等式选讲(选修45)绝对值不等式考向聚焦绝对值不等式的解法和性质运用是高考考查的一个重点.以绝对值不等式为载体,求参数的取值范围也是常见的考查题型,如恒成立问题、存在性问题等.多以填空题和解答题的形式出现,中等难度,分值5~10分备考指津含有绝对值不等式的问题主要包括两类:一类是解不等式,另一类是以绝对值不等式为载体求参数的取值范围,解答这两类问题的关键是去掉绝对值符号.(1)依据绝对值的意义;(2)先令每一个绝对值等于零,找到分界点,通过讨论每一区间内的代数式的符号去掉绝对值1.(年陕西卷,文15A,5分)若存在实数x使|x-a|+|x-1|≤3成立,则实数a的取值范围是.解析:由题意知左边的最小值小于或等于3,根据不等式的性质得|(x-a)-(x-1)|≤3,∴|a-1|≤3,∴-2≤a≤4.答案:-2≤a≤42.(年陕西卷,文15)若不等式|x+1|+|x-2|≥a对任意x∈R恒成立,则a的取值范围是.解析:法一:由题意,只需求|x+1|+|x-2|的最小值,由绝对值的几何意义知,此式表示数轴上的点P到-1,2两点的距离之和,当点P位于-1,2对应两点之间的距离之和最小值为3,∴a≤3.法二: |x+1|+|x-2|=|x+1|+|2-x|≥|x+1+2-x|=3,∴|x+1|+|x-2|的最小值为3.当且仅当-1≤x≤2时取最小值,若|x+1|+|x-2|≥a对任意x∈R恒成立,则a≤3.答案:(-∞,3]3.(年江西卷,文15)对于x∈R,不等式|x+10|-|x-2|≥8的解集为.解析:法一:①当x<-10时,原不等式等价于-x-10+x-2≥8,即-12≥8,∴x无解;②当-10≤x≤2时,原不等式等价于x+10+x-2≥8即2x≥0,∴0≤x≤2,③当x>2时,原不等式等价于x+10-x+2≥8,即12≥8,∴x>2由①②③得x≥0.法二:由绝对值的几何意义知|x+10|-|x-2|表示数轴上到-10与到2两点距离差,则当|x+10|-|x-2|≥8时,则x≥0.答案:[0,+∞)4.(年陕西卷,文15A)不等式|2x-1|<3的解集为.解析:由|2x-1|<3得-3<2x-1<3,∴-10时,-≤x≤,得a=2.(2)记h(x)=f(x)-2f(),则h(x)=所以|h(x)|≤1,因此k≥1.7.(年浙江自选模块,03,10分)已知a∈R,设关于x的不等式|2x-a|+|x+3|≥2x+4的解集为A.(1)若a=1,求A;(2)若A=R,求a的取值范围.解:(1)当x≤-3时,原不等式化为-3x-2≥2x+4,得x≤-3.当-3时,原不等式化为3x+2≥2x+4,得x≥2.综上,A={x|x≤0或x≥2}.(2)当x≤-2时,|2x-a|+|x+3|≥0≥2x+4成立.当x>-2时,|2x-a|+x+3=|2x-a|+|x+3|≥2x+4.得x≥a+1或x≤,所以a+1≤-2或a+1≤,得a≤-2综上,a的取值范围为a≤-2.8.(年全国新课标卷,文24)设函数f(x)=|x-a|+3x,其中a>0.(1)当a=1时,求不等式f(x)≥3x+2的解集;(2)若不等式f(x)≤0的解集为{x|x≤-1},求a的值.解:(1)当a=1时,f(x)≥3x+2可化为|x-1|≥2.由此可得x≥3或x≤-1,故不等式f(x)≥3x+2的解集为{x|x≥3或x≤-1}.(2)由f(x)≤0得|x-a|+3x≤0,此不等式化为不等式组或即或. a>0,所以不等式组的解集为{x|x≤-}.由题设可得-=-1,故a=2.9.(年辽宁卷,文24)已知函数f(x)=|x-2|-|x-5|.(1)证明:-3≤f(x)≤3;(2)求不等式f(x)≥x2-8x+15的解集.(1)证明:f(x)=|x-2|-|x-5|=当2
