第3节几何概型【选题明细表】知识点、方法题号与长度(角度)有关的几何概型1,4,6与面积(体积)有关的几何概型3,5,7,8,10,12随机模拟13综合应用2,9,11,14,15基础对点练(时间:30分钟)1.(2016福建三明质量检测)已知集合M={x|-2≤x≤8},N={x|x2-3x+2≤0},在集合M中任取一个元素x,则“x∈M∩N”的概率是(A)(A)(B)(C)(D)解析:因为N={x|x2-3x+2≤0}=[1,2],所以M∩N=[1,2],所以所求的概率P==.2.(2015宜宾模拟)在满足不等式组的平面点集中随机取一点M(x0,y0),设事件A为“y0<2x0”,那么事件A发生的概率是(B)(A)(B)(C)(D)解析:作出不等式组表示的平面区域即△ABC,其面积为4,且事件A表示的区域即△AOC,其面积为3,所以事件A发生的概率是.3.记集合A={(x,y)|x2+y2≤4}和集合B={(x,y)|x+y-2≤0,x≥0,y≥0}表示的平面区域分别为Ω1,Ω2,若在区域Ω1内任取一点M(x,y),则点M落在区域Ω2内的概率为(A)(A)(B)(C)(D)解析:根据题意可得集合A={(x,y)|x2+y2≤4}所表示的平面区域即为如图所表示的圆及内部的平面区域,面积为4π,集合B={(x,y)|x+y-2≤0,x≥0,y≥0}表示的平面区域即为图中的Rt△AOB,S△AOB=×2×2=2,根据几何概率的计算公式可得P==.故选A.4.在面积为S的△ABC的边AB上任取一点P,则△PBC的面积大于的概率为(C)(A)(B)(C)(D)解析:如图,当BM=BA时,△MBC的面积为,而当P在M、A之间运动时,△PBC的面积大于,即MA=AB,则△PBC的面积大于的概率P==,故选C.5.(2015商丘一模)如图圆C内切于扇形AOB,∠AOB=,若在扇形AOB内任取一点,则该点在圆C内的概率为(C)(A)(B)(C)(D)解析:设圆C的半径为r,试验发生包含的事件对应的是扇形AOB,满足条件的事件是☉C,其面积为π·r2,如图,连接OC,延长交扇形于P.由于易知CE=r,∠BOP=,OC=2r,OP=3r,则S扇形AOB==,所以☉C的面积与扇形AOB的面积比是.所以概率P=.6.如图所示,在△ABC中,∠B=60°,∠C=45°,高AD=,在∠BAC内作射线AM交BC于点M,则BM<1的概率为(B)(A)(B)(C)(D)解析:因为∠B=60°,∠C=45°,所以∠BAC=75°.在Rt△ADB中,AD=,∠B=60°,所以BD==1,∠BAD=30°.记事件N为“在∠BAC内作射线AM交BC于点M,则BM<1”,可得∠BAM<∠BAD时事件N发生.由几何概型的概率公式得P(N)==,故选B.7.如图所示,正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1,在正方体内随机取点M,则使四棱锥MABCD的体积小于的概率为.解析:要使四棱锥MABCD的体积小于,则其高应小于,所以P点应落在正方体ABCDA1B1C1D1中与底面ABCD平行且距离为的截面与平面ABCD之间.所以P=.答案:8.向边长为2米的正方形木框ABCD内随机投掷一粒绿豆,记绿豆落在P点,则P点到A点的距离大于1米,同时∠DPC∈(0,)的概率为.解析:由题意知P点在以DC为直径的圆外,且在以A为圆心,1为半径的圆外,即P点在如图所示的阴影部分内,则概率为P==1-.答案:1-9.(2015市中区校级四模)若在区域内任取一点P,则点P落在单位圆x2+y2=1内的概率为.解析:满足约束条件的区域为△AOB内部(含边界),与单位圆x2+y2=1的公共部分如图中阴影部分所示,则点P落在单位圆x2+y2=1内的概率为P===.答案:10.已知集合A=[-2,2],B=[-1,1],设M={(x,y)|x∈A,y∈B},在集合M内随机取出一个元素(x,y).(1)求以(x,y)为坐标的点落在圆x2+y2=1内的概率;(2)求以(x,y)为坐标的点到直线x+y=0的距离不大于的概率.解:(1)集合M内的点形成的区域面积S=8.因x2+y2=1的面积S1=π,故所求概率为P1==.(2)由题意≤,即-1≤x+y≤1,形成的区域如图中阴影部分所示,面积S2=4,所求概率为P2==.11.已知向量a=(2,1),b=(x,y),若x∈[-1,2],y∈[-1,1],求向量a,b的夹角是钝角的概率.解:设“a,b的夹角是钝角”为事件B,由a,b的夹角是钝角,可得a·b<0,即2x+y<0,且x≠2y.基本事件空间为Ω={(x,y)|},B=,则由图可知,P(B)==,即向量a,b的夹角是钝角的概率是.能力提升练(时间:15分钟)12.(2015高考湖北卷)在区间[0,1]上随机取两个数x,y,记p1为事件“x+y≥”的概率,p2为事件“|x-y|≤”的概率,p3为事件“xy≤”的概率,则(B)(A)p1
