第三节基本不等式、不等式的综合应用运用基本不等式求最值考向聚焦高考热点内容,主要考查(1)利用a2+b2≥2ab及a+b≥2的变式求解二元函数的最值;(2)求解ax+型函数最值问题及应用,多为选择、填空题,难度中低档,分值约为4~5分备考指津“解决此类问题的关键在于抓住基本不等式求最值时所具备的条件一正、二定、三”相等,同时注意常见的变形技巧:(1)变符号;(2)凑系数;(3)添项拆项;(4)构造ax+型等技巧的运用1.(年重庆卷,理7)已知a>0,b>0,a+b=2,则y=+的最小值是()(A)(B)4(C)(D)5解析:y=(+)·=(1+4++)=(5++)≥(5+2)=(当且仅当a=,b=“时取=”),故选C.答案:C.2.(年重庆卷,理7)已知x>0,y>0,x+2y+2xy=8,则x+2y的最小值是()(A)3(B)4(C)(D)解析:依题意得(x+1)(2y+1)=9,(x+1)+(2y+1)≥2=6,x+2y≥4,当且仅当x+1=2y+1,即x=2,y=1时取等号,故x+2y的最小值是4,选B.答案:B.3.(年湖南卷,理10)设x,y∈R,且xy≠0,则(x2+)(+4y2)的最小值为.解析:(x2+)(+4y2)=5+4x2y2+≥5+2=9,当且仅当4x2y2=即x2y2=时等号成立.∴最小值为9.答案:94.(年江苏卷,8)在平面直角坐标系xOy中,过坐标原点的一条直线与函数f(x)=的图象交于P,Q两点,则线段PQ长的最小值是.解析:如图.∵P在函数y=图象上,∴设P(x,),又∵Q与P关于原点对称,∴Q(-x,-),∴|PQ|2=(x+x)2+(+)2=4x2+=4(x2+)≥4×2=16(当且仅当x2=,即x2=2,即x=±时等号成立),∴|PQ|≥4,∴PQ长的最小值为4.答案:4基本不等式、不等式的综合应用考向聚焦高考难点内容,主要涉及:(1)不等式恒成立问题;(2)不等式的实际应用问题,多为选择、填空题,有时在解答题中考查基本不等式求最值,难度中档,分值约为5~12分备考指津解决此类问题注意:(1)不等式恒成立问题多利用等价转化思想,即分离参数转化为求最值问题;(2)不等式的实际应用问题要注意函数结构的变形及变量的实际意义5.(年福建卷,理5,5分)下列不等式一定成立的是()(A)lg(x2+)>lgx(x>0)(B)sinx+≥2(x≠kπ,k∈Z)(C)x2+1≥2|x|(x∈R)(D)>1(x∈R)解析:本小题主要考查基本不等式的应用,对A,当x>0时,x2+-x=(x-)2≥0,∴lg(x2+)≥lgx;对B,当sinx<0时显然不成立;对C,x2+1=|x|2+1≥2|x|,一定成立;对D,∵x2+1≥1,∴0<≤1.故选C.答案:C.6.(年浙江卷,理17,4分)设a∈R,若x>0时均有[(a-1)x-1](x2-ax-1)≥0,则a=.解析:设f(x)=(a-1)x-1,g(x)=x2-ax-1,易知f(x)与g(x)都过点(0,-1),∴f(x)与g(x)在(0,+∞)同正同负,∴有-a()-1=0,化简得-2a+3=0,∴a=.答案:7.(年山东卷,理14)若对任意x>0,≤a恒成立,则a的取值范围是.解析:∵x>0,∴x+≥2(当且仅当x=1时取等号),∴=≤=,即的最大值为,故a≥.答案:[,+∞)8.(年天津卷,理16)设函数f(x)=x2-1,对任意x∈[,+∞),f()-4m2f(x)≤f(x-1)+4f(m)恒成立,则实数m的取值范围是.解析:∵f(x)=x2-1,x∈[,+∞),f()-4m2f(x)≤f(x-1)+4f(m)对x∈[,+∞)恒成立,即-1-4m2(x2-1)≤(x-1)2-1+4(m2-1)对x∈[,+∞)恒成立.∴-4m2-1≤对x∈[,+∞)恒成立.令g(x)=,则g(x)=--=-3(+)=-3(+)2+.∵x≥,∴0<≤,∴当=时,g(x)min=-,∴-4m2-1≤-,整理得12m4-5m2-3≥0,(3m2+1)(4m2-3)≥0,4m2-3≥0,即m≥或m≤-.答案:(-∞,-]∪[,+∞)9.(年北京卷,理20,13分)设A是由m×n个实数组成的m行n列的数表,满足:每个数的绝对值不大于1,且所有数的和为零.记S(m,n)为所有这样的数表构成的集合.对于A∈S(m,n),记ri(A)为A的第i行各数之和(1≤i≤m),cj(A)为A的第j列各数之和(1≤j≤n),记k(A)为|r1(A)|,|r2(A)|,…,|rm(A)|,|c1(A)|,|c2(A)|,…,|cn(A)|中的最小值.(1)对如下数表A,求k(A)的值;11-0.80.1-0.3-1(2)设数表A∈S(2,3)形如11cab-1求k(A)的最大值;(3)给定正整数t,对于所有的A∈S(2,2t+1),求k(A)的最大值.解:(1)由已知|r1(A)|=1.2,|r2(A)|=1.2,|c1(A)|=1.1,|c2(A)|=0.7,|c3(A)|=1.8,∴k(A)=0.7.(2)不妨设a≤b,由已知c=-1-a-b.又∵c≥-1,∴a+b≤0,于是a≤0,∴r1(A)=2+c≥1,r2(A)=-r1(A)≤-1,c1(A)=1+a,c2(A)=1+b,c3(A)=-(1+a)-(1+b)≤-(1+a).∴k(A)=1+a≤1.∴当a=b=0且c=-1时,k(A)取最大值1.(3)对于给定的正整数t,任给数表A∈S(2,2t+1)如下:a1a2…a2t+1b1b2…b2t+1任意改变A的行次序或列次序,或把A中的每个数换成它的相反数,所得数表A*∈S(2,2t+1),并且k(A)=k(A*).因此,不妨设r1(A)≥0,且cj(A)≥0(j=1,2,…,t+1).由k(A)的定义知k(A)≤r1(A),k(A)≤cj(A)(j=1,2,…,t+1).又因为c1(A)+c2(A)+…+c2t+1(A)=0,∴(t+2)k(A)≤r1(A)+c1(A)+c2(A)+…+ct+1(A)=r1(A)-ct+2(A)-…-c2t+1(A)=aj-bj≤(t+1)-t×(-1)=2t+1,∴k(A)≤.对数表A0:第1列第2列…第t+1列第t+2列…第2t+1列11…1-1+…-1+…-1…-1则A0∈S(2,2t+1),且k(A0)=.综上,对于所有的A∈S(2,2t+1),k(A)的最大值为.
