第三节基本不等式、不等式的综合应用运用基本不等式求最值考向聚焦高考热点内容,主要考查(1)利用a2+b2≥2ab及a+b≥2的变式求解二元函数的最值;(2)求解ax+型函数最值问题及应用,多为选择、填空题,难度中低档,分值约为4~5分备考指津“解决此类问题的关键在于抓住基本不等式求最值时所具备的条件一正、二定、三”相等,同时注意常见的变形技巧:(1)变符号;(2)凑系数;(3)添项拆项;(4)构造ax+型等技巧的运用1.(年浙江卷,文9,5分)若正数x,y满足x+3y=5xy,则3x+4y的最小值是()(A)(B)(C)5(D)6解析:本题主要考查基本不等式求最值.因为x+3y=5xy,所以+=1,所以(+)(3x+4y)=++≥+2×=5,当且仅当=时,等号成立,所以选C.答案:C.本题对不等式的考查设计新颖,对于变量x,y的关系转化是关键.2.(年福建卷,文10)若a>0,b>0,且函数f(x)=4x3-ax2-2bx+2在x=1处有极值,则ab的最大值等于()(A)2(B)3(C)6(D)9解析:由f'(x)=12x2-2ax-2b,f(x)在x=1处有极值,则有a+b=6,又a>0,b>0,∴ab≤()2=9当且仅当a=b=3“时=”成立.故选D.答案:D.3.(年重庆卷,文15)若实数a,b,c满足2a+2b=2a+b,2a+2b+2c=2a+b+c,则c的最大值是.解析:设m=2a,n=2b,x=2c,则m+n=mn,即+=1(m>0,n>0),则由2a+2b+2c=2a+b+c得mn+x=mnx,∴(mn-1)x=mn,∴x=,∴x=,又+=1≥2,∴≤,∴-≥-,∴1-≥,∴x=≤,即2c≤,∴c≤log2=2-log23.当且仅当m=n=2,即a=b=1时取得.答案:2-log234.(年浙江卷,文16)若实数x,y满足x2+y2+xy=1,则x+y的最大值是.解析: xy≤(x+y)2,∴1=x2+y2+xy=(x+y)2-xy≥(x+y)2-(x+y)2=(x+y)2,∴(x+y)2≤,∴-≤x+y≤,当x=y=时,x+y取得最大值.答案:5.(年江苏卷,8)在平面直角坐标系xOy中,过坐标原点的一条直线与函数f(x)=的图象交于P,Q两点,则线段PQ长的最小值是.解析:如图. P在函数y=图象上,∴设P(x,),又 Q与P关于原点对称,∴Q(-x,-),∴|PQ|2=(x+x)2+(+)2=4x2+=4(x2+)≥4×2=16(当且仅当x2=,即x2=2,即x=±时等号成立),∴|PQ|≥4,∴PQ长的最小值为4.答案:4基本不等式、不等式的综合应用考向聚焦高考难点内容,主要涉及:(1)不等式恒成立问题;(2)不等式的实际应用问题,多为选择、填空题,有时在解答题中考查基本不等式求最值,难度中档,分值约为5~12分备考指津解决此类问题注意:(1)不等式恒成立问题多利用等价转化思想,即分离参数转化为求最值问题;(2)不等式的实际应用问题要注意函数结构的变形及变量的实际意义6.(年陕西卷,文10,5分)小王从甲地到乙地往返的时速分别为a和b(a=a,∴a0,则下列不等式中,恒成立的是()(A)a2+b2>2ab(B)a+b≥2(C)+>(D)+≥2解析:当a=b>0时,a2+b2=2ab,故A错;当a<0,b<0时,ab>0,而a+b<0,+<0,故B、C错; ab>0,>0,>0,∴+≥2.故选D.答案:D.9.(年四川卷,文16,4分)设a,b为正实数.现有下列命题:①若a2-b2=1,则a-b<1;②若-=1,则a-b<1;③若|-|=1,则|a-b|<1;④若|a3-b3|=1,则|a-b|<1.其中的真命题有.(写出所有真命题的编号)解析:对于①,a2-b2=1(a>0,b>0)可看做双曲线x2-y2=1右上支,显然图象在直线y=x-1的上方,故①正确;对于②,令a=3,b=,此时满足-=1,但a-b>1,故②错误;对于③,令a=9,b=4,此时满足|-|=1,但|a-b|>1,故③不正确;对于④,不妨设a>b,则可得a3=b3+1<(b+1)3,因为a>0,b>0,所以a
