平面向量F1平面向量的概念及其线性运算10．F1[·江苏卷]设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝AB，BE＝BC.若DE＝λ1AB＋λ2AC(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．10.[解析]如图所示，DE＝BE－BD＝BC－BA＝(AC－AB)＋AB＝AB＋AC，又DE＝λ1AB＋λ2AC，且AB与AC不共线，所以λ1＝－，λ2＝，即λ1＋λ2＝.3．F1，A2[·陕西卷]设a，b“为向量，则|a·b|＝|a||b|”是“a∥b”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件3．C[解析]由已知中|a·b|＝|a|·|b|可得，a与b同向或反向，所以a∥b.又因为由a∥b，可得|cos〈a，b〉|＝1，故|a·b|＝|a|·|b||cos〈a，b〉|＝|a|·|b|，故|a·b|＝|a|·|b|是a∥b的充分必要条件．17．C5，C8，F1[·四川卷]在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2cos2cosB－sin(A－B)sinB＋cos(A＋C)＝－.(1)求cosA的值；(2)若a＝4，b＝5，求向量BA在BC方向上的投影．17．解：(1)由2cos2cosB－sin(A－B)sinB＋cos(A＋C)＝－，得[cos(A－B)＋1]cosB－sin(A－B)sinB－cosB＝－，即cos(A－B)cosB－sin(A－B)sinB＝－，则cos(A－B＋B)＝－，即cosA＝－.(2)由cosA＝－，0
b，则A>B，故B＝.根据余弦定理，有(4)2＝52＋c2－2×5c×，解得c＝1或c＝－7(舍去)，故向量BA在BC方向上的投影为|BA|cosB＝.12．F1[·四川卷]在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，AB＋AD＝λAO，则λ＝________．12．2[解析]根据向量运算法则，AB＋AD＝AC＝2AO，故λ＝2.10．F1、F2，F3[·重庆卷]在平面上，AB1⊥AB2，|OB1|＝|OB2|＝1，AP＝AB1＋AB2.若|OP|＜，则|OA|的取值范围是()A.B.C.D.10．D[解析]根据条件知A，B1，P，B2构成一个矩形AB1PB2，以AB1，AB2所在直线为坐标轴建立直角坐标系，如图．设|AB1|＝a，|AB2|＝b，点O的坐标为(x，y)，则点P的坐标为(a，b)，由|OB1|＝|OB2|＝1得则又由|OP|＜，得(x－a)2＋(y－b)2＜，则1－x2＋1－y2＜，即x2＋y2＞①.又(x－a)2＋y2＝1，得x2＋y2＋a2＝1＋2ax≤1＋a2＋x2，则y2≤1；同理由x2＋(y－b)2＝1，得x2≤1，即有x2＋y2≤2②.由①②知＜x2＋y2≤2，所以＜≤.而|OA|＝，所以＜|OA|≤，故选D.F2平面向量基本定理及向量坐标运算9．F2、E5[·安徽卷]在平面直角坐标系中，O是坐标原点，两定点A，B满足|OA|＝|OB|＝OA·OB＝2，则点集{P|OP＝λOA＋μOB，|λ|＋|μ|≤1，λ，μ∈R}所表示的区域的面积是()A．2B．2C．4D．49．D[解析]由|OA|＝|OB|＝OA·OB＝2，可得点A，B在圆x2＋y2＝4上且∠AOB＝60°，在平面直角坐标系中，设A(2，0)，B(1，)，设P(x，y)，则(x，y)＝λ(2，0)＋μ(1，)，由此得x＝2λ＋μ，y＝μ，解得μ＝，λ＝x－y，由于|λ|＋|μ|≤1，所以x－y＋y≤1，即|x－y|＋|2y|≤2.①或②或③或④上述四个不等式组在平面直角坐标系中表示的区域如图阴影部分所示，所以所求区域的面积是4.6．F2[·湖南卷]已知a，b是单位向量，a·b＝0，若向量c满足|c－a－b|＝1，则|c|的取值范围是()A．[－1，＋1]B．[－1，＋2]C．[1，＋1]D．1，＋26．A[解析]由题可知a·b＝0，则a⊥b，又|a|＝|b|＝1，且|c－a－b|＝1，不妨令c＝(x，y)，a＝(1，0)，b＝(0，1)，则(x－1)2＋(y－1)2＝1，又|c|＝，故根据几何关系可知|c|max＝＋1＝1＋，|c|min＝－1＝－1，故选A.13．F2[·北京卷]向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示，若c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，则＝________．图1－313．4[解析]以向量a和b的交点为原点，水平方向和竖直方向分别为x轴和y轴建立直角坐标系，则a＝(－1，1)，b＝(6，2)，c＝(－1，－3)，则解得所以＝4.3．F2[·辽宁卷]已知点A(1，3)，B(4，－1)，则与向量AB同方向的单位向量为()A.B.C.D.3．A[解析] AB＝(3，－4)，∴与AB方向相同的单位向量为＝，故选A.12．F2[·天津卷]在平行四边形ABCD中，AD＝1，∠BAD＝60°，E为CD的中点，若AC·BE＝1，则AB的长为________．12.[解析]由题意得BE＝AE－AB＝AD＋AB－AB＝AD－AB，AC＝AD＋AB，所以AC·BE＝(AD＋AB)＝AD2－AB2＋AD·AB＝1－AB2＋|AB|×1×＝1，解得|AB|＝或0(舍去)．13．...
