课后限时集训22同角三角函数的基本关系与诱导公式建议用时：45分钟一、选择题1．若＝，则tanθ＝()A．1B．－1C．3D．－3D[因为＝＝，所以2(sinθ＋cosθ)＝sinθ－cosθ，所以sinθ＝－3cosθ，所以tanθ＝－3.]2．若tanα＝，则sin4α－cos4α的值为()A.－B.C.D.－D[∵tanα＝，∴sin4α－cos4α＝(sin2α＋cos2α)·(sin2α－cos2α)＝＝＝－，故选D.]3．已知cos31°＝a，则sin239°·tan149°的值是()A.B.C.D.－B[sin239°·tan149°＝sin(270°－31°)·tan(180°－31°)＝－cos31°·(－tan31°)＝sin31°＝.]4．若θ∈，则等于()A．sinθ－cosθB．cosθ－sinθC．±(sinθ－cosθ)D．sinθ＋cosθA[因为＝＝＝|sinθ－cosθ|，又θ∈，所以sinθ－cosθ＞0，所以原式＝sinθ－cosθ.故选A.]5．(2019·武汉模拟)cos＝，则sin等于()A.B.C.－D.－A[sin＝sin＝cos＝.]二、填空题6．sinπ·cosπ·tan的值是________．－[原式＝sin·cos·tan＝··＝××(－)＝－.]7．若角α的终边落在第三象限，则＋＝________.－3[由角α的终边落在第三象限，得sinα＜0，cosα＜0，故原式＝＋＝＋＝－1－2＝－3.]8．在△ABC中，若tanA＝，则sinA＝________.[因为tanA＝＞0，所以A为锐角，由tanA＝＝以及sin2A＋cos2A＝1，可求得sinA＝.]三、解答题9．已知sin(3π＋α)＝2sin，求下列各式的值：(1)；(2)sin2α＋sin2α.[解]由已知得sinα＝2cosα.(1)原式＝＝－.(2)原式＝＝＝.10．已知α为第三象限角，f(α)＝.(1)化简f(α)；(2)若cos＝，求f(α)的值．[解](1)f(α)＝＝＝－cosα.(2)因为cos＝，所以－sinα＝，从而sinα＝－.又α为第三象限角，所以cosα＝－＝－，所以f(α)＝－cosα＝.1．已知函数f(x)＝asin(πx＋α)＋bcos(πx＋β)，且f(4)＝3，则f(2021)的值为()A．－1B．1C．3D．－3D[∵f(4)＝asin(4π＋α)＋bcos(4π＋β)＝asinα＋bcosβ＝3，∴f(2021)＝asin(2021π＋α)＋bcos(2021π＋β)＝asin(π＋α)＋bcos(π＋β)＝－asinα－bcosβ＝－3.]2．(2019·长春模拟)已知θ是第一象限角，若sinθ－2cosθ＝－，则sinθ＋cosθ的值为()A.B.－C.D.C[∵sinθ－2cosθ＝－，∴sinθ＝2cosθ－，∴2＋cos2θ＝1，∴5cos2θ－cosθ－＝0，即＝0.又∵θ为第一象限角，∴cosθ＝，∴sinθ＝，∴sinθ＋cosθ＝.]3．已知α为第二象限角，则cosα＋sinα＝________.0[原式＝cosα＋sinα＝cosα＋sinα，因为α是第二象限角，所以sinα＞0，cosα＜0，所以cosα＋sinα＝－1＋1＝0，即原式等于0.]4．已知关于x的方程2x2－(＋1)x＋m＝0的两根为sinθ和cosθ，且θ∈(0,2π)．(1)求＋的值；(2)求m的值；(3)求方程的两根及此时θ的值．[解](1)由根与系数的关系可知而＋＝＋＝sinθ＋cosθ＝.(2)由①两边平方，得1＋2sinθcosθ＝，将②代入，得m＝.(3)当m＝时，原方程变为2x2－(1＋)x＋＝0，解得x1＝，x2＝，则或∵θ∈(0,2π)，∴θ＝或θ＝.1．已知α，β∈，且sin＝cos，cos＝－cos(π＋β)，则α＝________，β＝________.[由已知可得∴sin2α＋3cos2α＝2.∴sin2α＝，又α∈，∴sinα＝，α＝.将α＝代入①中得sinβ＝，又β∈，∴β＝，综上α＝，β＝.]2．已知cos＋sin＝1.求cos2＋cosβ－1的取值范围．[解]由已知得cosβ＝1－sinα.∵－1≤cosβ≤1，∴－1≤1－sinα≤1，又－1≤sinα≤1，可得0≤sinα≤1，∴cos2＋cosβ－1＝sin2α＋1－sinα－1＝sin2α－sinα＝2－.(*)又0≤sinα≤1，∴当sinα＝时，(*)式取得最小值－，当sinα＝0或sinα＝1时，(*)式取得最大值0，故所求范围是.
