第三节三角恒等变换利用三角恒等变换求值考向聚焦利用三角恒等变换求三角函数值是常考内容,主要体现在:(1)把三角恒等变换作为工具来解决三角函数问题,即利用两角和与差的三角公式、倍角公式进行三角函数式的化简、求值问题;(2)在题目设置上多出现三角函数公式的正用、逆用、变形用以及特定条件下的使用,以考查学生对公式的掌握,常以客观题的形式出现,属于中档以下题目,所占分值为5分左右备考指津训练题型:(1)三角恒等变换一般解题模式,其中特别要注重遇切弦,化统一,遇多元,想消元,遇差异,想联系,遇特角,想求值等;(2)角的配凑形式,提升思维起点,缩短思维路线1.(年山东卷,理7,5分)若θ∈[,],sin2θ=,则sinθ等于()(A)(B)(C)(D)解析:本小题主要考查二倍角公式. θ∈[,],∴2θ∈[,π],∴cos2θ=-=-, cos2θ=1-2sin2θ,∴sinθ==.答案:D.2.(年全国大纲卷,理7,5分)已知α为第二象限角,sinα+cosα=,则cos2α等于()(A)-(B)-(C)(D)解析:把sinα+cosα=两边平方,化为1+2sinαcosα=,解得sin2α=-.又α为第二象限角,且sinα+cosα=>0,∴α∈(90°,135°),∴2α∈(180°,270°),∴cos2α<0,cos2α=-=-=-.答案:A.3.(年重庆卷,理5,5分)设tanα,tanβ是方程x2-3x+2=0的两根,则tan(α+β)的值为()(A)-3(B)-1(C)1(D)3解析:易知tanα+tanβ=3,tanαtanβ=2,故tan(α+β)===-3.故选A.答案:A.4.(年全国新课标卷,理5)已知角θ的顶点与原点重合,始边与x轴的正半轴重合,终边在直线y=2x上,则cos2θ等于()(A)-(B)-(C)(D)解析:因为终边在直线y=2x上,所以tanθ=2,所以cos2θ=cos2θ-sin2θ====-.故选B.答案:B.5.(年浙江卷,理6)若0<α<,-<β<0,cos(+α)=,cos(-)=,则cos(α+)等于()(A)(B)-(C)(D)-解析: 0<α<,∴<α+<. cos(+α)=,∴sin(+α)=.又 -<β<0,∴<-<. cos(-)=,∴sin(-)=,∴cos(α+)=cos[(α+)-(-)]=cos(α+)cos(-)+sin(α+)sin(-)=×+×=.故选C.答案:C.6.(年全国新课标卷,理9)若cosα=-,α是第三象限的角,则等于()(A)-(B)(C)2(D)-2解析:法一: cosα=2cos2-1,即-=2cos2-1,∴cos=±.又 α是第三象限的角,cosα=-<-,∴2kπ+π<α<π+2kπ,k∈Z,∴kπ+<<+kπ,k∈Z,∴tan<0,易得tan=-3,则==-.故选A.法二:=tan(45°+)====, α是第三象限的角,且cosα=-,∴sinα=-,∴原式==-,故选A.答案:A.7.(年全国大纲卷,理14,5分)当函数y=sinx-cosx(0≤x<2π)取得最大值时,x=.解析:y=sinx-cosx=2(sinx×-cosx×)=2sin(x-)(0≤x<2π)当y取最大值时,x-=,∴x=π.答案:π8.(年江苏数学,11,5分)设α为锐角,若cos(α+)=,则sin(2α+)的值为.解析:本题考查三角恒等变形、同角三角函数的基本关系. cos(α+)=,∴α+∈(0,),∴sin(α+)=,∴sin(2α+)=2cos(α+)sin(α+)=2××=,cos(2α+)=2cos2(α+)-1=,∴sin(2α+)=sin[(2α+)-]=sin(2α+)cos-cos(2α+)sin=.答案:9.(年江苏卷,7)已知tan(x+)=2,则的值为.解析:由tan(x+)=2得=2,即=2,∴tanx=,∴====.答案:10.(年辽宁卷,理17,12分)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.角A,B,C成等差数列.(1)求cosB的值;(2)边a,b,c成等比数列,求sinAsinC的值.解:(1)由A、B、C成等差数列,知2B=A+C,又由A+B+C=180°,得B=60°,∴cosB=.(2)法一:由a,b,c成等比数列知b2=ac,由正弦定理知sin2B=sinAsinC,∴sinAsinC=sin260°=()2=.法二:由a,b,c成等比数列知b2=ac,cosB===,得a=c.又B=60°,∴△ABC为等边三角形,sinAsinC=×=.此题考查了利用正弦定理、余弦定理解三角形,注意角边转化,难度不大,中档.11.(年四川卷,理17)已知函数f(x)=sin(x+)+cos(x-),x∈R.(1)求f(x)的最小正周期和最小值;(2)已知cos(β-α)=,cos(β+α)=-,0<α<β≤.求证:[f(β)]2-2=0.(1)解: f(x)=sin(x+)+cos(x-)=sinxcos+cosxsin+cosxcos+sinxsin=sinx-cosx=2(sinx-cosx)=2sin(x-),∴f(x)的最小正周期T=2π,最小值为-2.(2)证明: 0<α<β≤,∴0<β-α<,0<α+β<π.又cos(β-α)=,cos(β+α)=-,∴sin(β-α)=,sin(β+α)=,∴sin2β=sin[(β-α)+(β+α)]=sin(β-α)cos(β+α)+cos(β-α)sin(β+α)=×(-)+×=0,∴[f(β)]2-2=[2sin(β-)]2-2=4×-2=2-2sin2β-2=-2sin2β=0,∴[f(β)]2-2=0.利用三角恒等变换化简三角函数式考向聚焦高考重...