第三节椭圆椭圆的定义及标准方程考向聚焦高考常考内容,主要考查:(1)利用椭圆的定义求椭圆标准方程或求解焦点三角形的有关问题;(2)用待定系数法、相关点法求椭圆的标准方程.常以选择题、填空题或解答题一问的形式出现,难度中档,所占分值4~6分备考指津训练题型:(1)根据定义求椭圆方程,注重与向量相结合题型的训练;(2)求焦点三角形的内角、面积等问题,注意转化与化归思想的训练;(3)用待定系数法、相关点法求椭圆方程,注意分类讨论思想的训练1.(年新课标全国卷,理14)在平面直角坐标系xＯy中,椭圆C的中心为原点,焦点F1,F2在x轴上,离心率为.过F1的直线l交C于A,B两点,且△ABF2的周长为16,那么C的方程为.解析:由题意知4a=16,∴a=4.又e==,∴c=2.又a2=b2+c2,∴b2=16-8=8,∴所求椭圆方程为+=1.答案:+=12.(年江西卷,理14)若椭圆+=1的焦点在x轴上,过点(1,)作圆x2+y2=1的切线,切点分别为A,B,直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点,则椭圆方程是.解析:由图知切点A(1,0),设另一切线为y-=k(x-1),即kx-y-k+=0,圆心(0,0)到切线距离d==1,∴k=-,则OB所在直线的方程为y=x,∴y=x与x2+y2=1联立得B(,),∴直线AB的方程为:y=-2(x-1)得椭圆右焦点(1,0)、上顶点(0,2),∴c=1,b=2,则a2=5,∴椭圆方程为+=1.答案:+=13.(年安徽卷,理19)已知椭圆E经过点A(2,3),对称轴为坐标轴,焦点F1,F2在x轴上,离心率e=.(1)求椭圆E的方程;(2)求∠F1AF2的角平分线所在直线l的方程;(3)在椭圆E上是否存在关于直线l对称的相异两点?若存在,请找出;若不存在,说明理由.解:(1)设椭圆E的方程为+=1(a>b>0),由e=,即=,a=2c,得b2=a2-c2=3c2,∴椭圆的方程可化为+=1.将A(2,3)代入上式,得+=1,解得c=2(负值舍去),∴椭圆E的方程为+=1.(2)由(1)知F1(-2,0),F2(2,0),所以直线AF1的方程为y=(x+2),即3x-4y+6=0,直线AF2的方程为x=2.由点A在椭圆E上的位置知,直线l的斜率为正数.设P(x,y)为l上任一点,则=|x-2|.若3x-4y+6=5x-10,得x+2y-8=0(因其斜率为负,故舍去).于是,由3x-4y+6=-5x+10,得2x-y-1=0,所以直线l的方程为2x-y-1=0.(3)假设存在这样的两个不同的点B(x1,y1)和C(x2,y2),则kBC==-.设BC的中点为M(x0,y0),则x0=,y0=,由于M在l上,故2x0-y0-1=0.①又B,C在椭圆上,所以有+=1与+=1.两式相减,得+=0,即+=0.将该式整理为·+··=0,(*)并将直线BC的斜率kBC和线段BC的中点(x0,y0)代入(*)中,得x0-y0=0,即3x0-2y0=0.②由①②得x0=2,y0=3,即线段BC的中点为点A,而这是不可能的.∴不存在满足题设条件的相异两点.求曲线方程的常用方法:待定系数法,直接法,及利用曲线的特点求方程.(3)问中“”“”中点弦问题常可用设而不求法以及直线与曲线方程联立的方式解决.椭圆的几何性质考向聚焦高考必考内容,主要考查椭圆的离心率的求解,常以选择题、填空题或解答题一问的形式出现,难度中档偏上,所占分值4~5分4.(年新课标全国卷,理4,5分)设F1,F2是椭圆E:+=1(a>b>0)的左、右焦点,P为直线x=上一点,△F2PF1是底角为30°的等腰三角形,则E的离心率为()(A)(B)(C)(D)解析:设直线x=交x轴于H,易知|F2F1|=|F2P|=2c,∠PF2H=60°,故|PF2|=2|HF2|,∴2c=2(-c),∴3a=4c,∴e==,选C.答案:C.5.(年山东卷,理10,5分)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为.双曲线x2-y2=1的渐近线与椭圆有四个交点,以这四个交点为顶点的四边形的面积为16,则椭圆C的方程为()(A)+=1(B)+=1(C)+=1(D)+=1解析:本小题主要考查椭圆与双曲线的几何性质.易知双曲线的渐近线为y=±x,由椭圆的对称性可知,构成的四边形为正方形,所以椭圆过点(2,2),即+=1①,又e===,∴a2=4b2,代入①得b2=5,a2=20.答案:D.6.(年江西卷,理13,5分)椭圆+=1(a>b>0)的左、右顶点分别是A,B,左、右焦点分别是F1,F2.若|AF1|,|F1F2|,|F1B|成等比数列,则此椭圆的离心率为.解析:本题将数列与椭圆巧妙融合在一起,情境新颖,属一道佳题,本题着重考查等比中项的性质,以及椭圆的离心率、焦距、顶点等几何性质,同时考查了方程及转化思想.依题意得|F1F2|2=|AF1||BF1|,即4c2=(a-c)(a+c)=a2-c2,整理得5c2=a2,所以e==(负值舍去).答案:7.(年全国卷Ⅰ,理16)已知F是椭圆C的一个焦点,B是短轴的一个端点,线段BF的延长线交C于点D,且=2,则C的离心率为.解析:设椭圆的方程为+=1(a>b>0),D(x0,y0),F(c,0),B(...
