第三节直接证明与间接证明直接证明考向聚焦证明方法是高考常考内容,一般不单独命题、主要以函数、三角函数、数列、向量、不等式、立体几何、解析几何等为载体,考查综合法、分析法、反证法等且以直接证明的综合法为重点.多以解答题的形式出现,具有一定的难度,属中高档题,所占分值12~14分备考指津综合法和分析法是两种不同的证明方法,分析法便于寻找解题思路,而综合法便于证题过程的叙述,两种方法各有所长,在解决具体的问题中,应注意两种方法的综合运用1.(年山东卷,理12)“”定义平面向量之间的一种运算☉如下:对任意的a=(m,n),b=(p,q),令a☉b=mq-np.下面说法错误的是()(A)若a与b共线,则a☉b=0(B)a☉b=b☉a(C)对任意的λ∈R,有(λa)☉b=λ(a☉b)(D)(a☉b)2+(a·b)2=|a|2|b|2解析:若a=(m,n)与b=(p,q)共线,则mq-np=0,“”依运算☉知a☉b=0,故A正确.由于a☉b=mq-np,又b☉a=np-mq,因此a☉b=-b☉a,故B不正确.对于C,由于λa=(λm,λn),因此(λa)☉b=λmq-λnp,又λ(a☉b)=λ(mq-np)=λmq-λnp,故C正确.对于D,(a☉b)2+(a·b)2=m2q2-2mnpq+n2p2+(mp+nq)2=m2(p2+q2)+n2(p2+q2)=(m2+n2)(p2+q2)=|a|2|b|2,故D正确.答案:B.对此类给出一种新概念、新运算、新性质的题目,在准确理解、把握所给新概念、新运算、新性质的基础上,正确迁移,运用所学知识解决新问题.2.(年湖北卷,理15)设a>0,b>0,称为a,b的调和平均数.如图,C为线段AB上的点,且AC=a,CB=b,O为AB中点,以AB为直径作半圆.过点C作AB的垂线交半圆于D,连接OD,AD,BD.过点C作OD的垂线,垂足为E.则图中线段OD的长度是a,b的算术平均数,线段的长度是a,b的几何平均数,线段的长度是a,b的调和平均数.解析:在Rt△ABD中,CD是斜边AB上的高,所以CD2=AC·CB,所以CD==,所以线段CD的长度是a,b的几何平均数.在Rt△OCD中,因为CE⊥OD,所以=,所以线段DE的长度为为=.所以线段DE的长度是a,b的调和平均数.答案:CDDE间接证明考向聚焦间接证明体现了正难则反的思维方法,高考中一些选择题的解答常常举反例来判断选项的正误,解答题中时常会出现含有反面词语的证明,题目一般比较综合备考指津应加强反证法原理及证题步骤的理解训练,对于从正面不容易证明的问题,可考虑利用反证法来间接证明3.(年上海卷,理22)已知数列{an}和{bn}的通项公式分别为an=3n+6,bn=2n+7(n∈N*).将集合{x|x=an,n∈N*}∪{x|x=bn,n∈N*}中的元素从小到大依次排列,构成数列c1,c2,c3,…,cn,….(1)求c1,c2,c3,c4;(2)求证:在数列{cn}中,但不在数列{bn}中的项恰为a2,a4,…,a2n,…;(3)求数列{cn}的通项公式.(1)解:由a1=9,a2=12,a3=15…b1=9,b2=11,b3=13…∴c1=9,c2=11,c3=12,c4=13.(2)证明: 数列{cn}由{an}、{bn}的项构成,∴只需讨论数列{an}的项是否为数列{bn}的项. 对于任意n∈N*,a2n-1=3(2n-1)+6=6n+3=2(3n-2)+7=b3n-2,∴a2n-1是{bn}的项.下面用反证法证明:a2n不是{bn}的项.假设a2n是数列{bn}的项,设a2n=bm,则3×2n+6=2m+7,m=3n-,与m∈N*矛盾.即a2n是{cn}中的项,但不在{bn}中.∴结论得证.(3)解: b3k-2=2(3k-2)+7=6k+3,a2k-1=6k+3,b3k-1=6k+5,a2k=6k+6,b3k=6k+7,∴b3k-2=a2k-10,anan+1<0,故an=(-1)n-1.bn=-=[1-·()n]-[1-·()n-1]=·()n-1.(2)证明:假设数列{bn}存在三项br,bs,bt(rbs>bt,则只能有2bs=br+bt成立.∴2×·()s-1=·()r-1+·()t-1,两边同乘3t-121-r,化简得3t-r+2t-r=2·2s-r3t-s.由于r