选修4系列N1选修4-1几何证明选讲21.N1[·江苏卷]A.[选修4-1:几何证明选讲]如图1-1所示,AB和BC分别与圆O相切于点D,C,AC经过圆心O,且BC=2OC.求证:AC=2AD.图1-1证明:联结OD,因为AB和BC分别与圆O相切于点D,C,所以∠ADO=∠ACB=90°.又因为∠A=∠A,所以Rt△ADO∽Rt△ACB,所以=.又BC=2OC=2OD.故AC=2AD.N2[·江苏卷]B.[选修4-2:矩阵与变换]已知矩阵A=\s\up7(-10,2),B=1,0)2,6),求矩阵A-1B.解:设矩阵A的逆矩阵为a,c)b,d),则-1,0)0,2)a,c)b,d)=1,0)0,1).即-a,2c)-b,2d)=1,0)0,1),故a=-1,b=0,c=0,d=,从而A的逆矩阵为A-1=0,))).所以A-1B=0,)))1,0)2,6)=-1,0)-2,3).N3[·江苏卷]C.[选修4-4:坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为(t为参数),曲线C的参数方程为(θ为参数),试求直线l和曲线C的普通方程,并求出它们的公共点的坐标.解:因为直线l的参数方程为(t为参数),由x=t+1得t=x-1,代入y=2t,得到直线l的普通方程为2x-y-2=0.同理得到曲线C的普通方程为y2=2x.联立方程组解得公共点的坐标为(2,2),,-1.N4[·江苏卷]D.[选修4-5:不等式选讲]已知a≥b>0,求证:2a3-b3≥2ab2-a2b.证明:2a3-b3-(2ab2-a2b)=2a(a2-b2)+b(a2-b2)=(a2-b2)(2a+b)=(a-b)(a+b)(2a+b).因为a≥b>0,所以a-b≥0,a+b>0,2a+b>0.从而(a-b)(a+b)(2a+b)≥0,即2a3-b3≥2ab2-a2b.22.N1[·辽宁卷]选修4-1:几何证明选讲如图1-6,AB为⊙O直径,直线CD与⊙O相切于E,AD垂直CD于D,BC垂直CD于C,EF垂直AB于F,联结AE,BE,证明:(1)∠FEB=∠CEB;(2)EF2=AD·BC.图1-622.解:证明:(1)由直线CD与⊙O相切,得∠CEB=∠EAB.由AB为⊙O的直径,得AE⊥EB,从而∠EAB+∠EBF=.又EF⊥AB,得∠FEB+∠EBF=,从而∠FEB=∠EAB.故∠FEB=∠CEB.(2)由BC⊥CE,EF⊥AB,∠FEB=∠CEB,BE是公共边,得Rt△BCE≌Rt△BFE,所以BC=BF.类似可证:Rt△ADE≌Rt△AFE,得AD=AF.又在Rt△AEB中,EF⊥AB,故FE2=AF·BF.所以EF2=AD·BC.B.N1[·陕西卷](几何证明选做题)如图1-4所示,AB与CD相交于点E,过E作BC的平行线与AD的延长线交于点P,已知∠A=∠C,PD=2DA=2,则PE=________.图1-4[解析]利用已知图形关系可得∠BCE=∠PED=∠BAP,可得△PDE∽△PEA,可得=,而PD=2DA=2,则PA=3,则PE2=PA·PD=6,PE=.22.N1[·新课标全国卷Ⅰ]选修4-1:几何证明选讲如图1-6,直线AB为圆的切线,切点为B,点C在圆上,∠ABC的平分线BE交圆于点E,DB垂直BE交圆于点D.(1)证明:DB=DC;(2)设圆的半径为1,BC=,延长CE交AB于点F,求△BCF外接圆的半径.图1-622.解:(1)联结DE,交BC于点G.由弦切角定理得,∠ABE=∠BCE.而∠ABE=∠CBE,故∠CBE=∠BCE,BE=CE.又因为DB⊥BE,所以DE为直径,∠DCE=90°,由勾股定理可得DB=DC.(2)由(1)知,∠CDE=∠BDE,DB=DC,故DG是BC的中垂线,所以BG=.设DE的中点为O,联结BO,则∠BOG=60°,从而∠ABE=∠BCE=∠CBE=30°,所以CF⊥BF,故Rt△BCF外接圆的半径等于.13.N1[·天津卷]如图1-2所示,在圆内接梯形ABCD中,AB∥DC.过点A作圆的切线与CB的延长线交于点E.若AB=AD=5,BE=4,则弦BD的长为________.图1-213.[解析]联结AC.由圆内接梯形的性质得,∠DCB=∠ABE,∠DAB+∠DCB=180°,∠ABC+∠DCB=180°,∴∠DAB=∠ABC,∠DAB+∠ABE=180°,又 ∠ADB=∠ACB,∴∠CAB=∠DBA,又∠ADB=∠ABD,∴∠BAC=∠BCA,∴BC=AB=5.由切割线定理得AE2=BE·EC=4×(4+5)=36,由cos∠ABE=-cos∠DAB,得-=,即-=,解之得BD=.22.N1[·新课标全国卷Ⅱ]选修4-1:几何证明选讲如图1-10,CD为△ABC外接圆的切线,AB的延长线交直线CD于点D,E,F分别为弦AB与弦AC上的点,且BC·AE=DC·AF,B,E,F,C四点共圆.(1)证明:CA是△ABC外接圆的直径;(2)若DB=BE=EA,求过B,E,F,C四点的圆的面积与△ABC外接圆面积的比值.图1-1022.解:(1)因为CD为△ABC外接圆的切线,所以∠DCB=∠A,由题设知=,故△CDB∽△AEF,所以∠DBC=∠EFA.因为B,E,F,C...