第三节椭圆椭圆的定义及标准方程考向聚焦高考常考内容,主要考查:(1)利用椭圆的定义求椭圆标准方程或求解焦点三角形的有关问题;(2)用待定系数法、相关点法求椭圆的标准方程.常以选择题、填空题或解答题一问的形式出现,难度中档,所占分值4~6分备考指津训练题型:(1)根据定义求椭圆方程,注重与向量相结合题型的训练;(2)求焦点三角形的内角、面积等问题,注意转化与化归思想的训练;(3)用待定系数法、相关点法求椭圆方程,注意分类讨论思想的训练1.(年安徽卷,文17)椭圆E经过点A(2,3),对称轴为坐标轴,焦点F1,F2在x轴上,离心率e=.(1)求椭圆E的方程;(2)求∠F1AF2的角平分线所在直线l的方程.解:(1)设椭圆E的方程为+=1(a>b>0),由e=,即=,a=2c,得b2=a2-c2=3c2,∴椭圆的方程可化为+=1.将A(2,3)代入上式,得+=1,解得c=2(负值舍去),∴椭圆E的方程为+=1.(2)法一:由(1)知F1(-2,0),F2(2,0),所以直线AF1的方程为y=(x+2),即3x-4y+6=0,直线AF2的方程为:x=2.由点A在椭圆E上的位置知,直线l的斜率为正数.设P(x,y)为l上任一点,则=|x-2|.若3x-4y+6=5x-10,得x+2y-8=0(因其斜率为负,故舍去).于是,由3x-4y+6=-5x+10,得2x-y-1=0,所以直线l的方程为:2x-y-1=0.法二: A(2,3),F1(-2,0),F2(2,0),∴=(-4,-3),=(0,-3).∴+=(-4,-3)+(0,-3)=-(1,2).∴kl=2,∴l的方程为y-3=2(x-2),即2x-y-1=0.求曲线方程的常用方法:待定系数法,直接法,及利用曲线的特点求方程,其中(2)中法二简便易行,但不易想到用直线的方向向量求斜率.2.(年辽宁卷,文20)设F1、F2分别为椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点,过F2的直线l与椭圆C相交于A,B两点,直线l的倾斜角为60°,F1到直线l的距离为2.(1)求椭圆C的焦距;(2)如果=2,求椭圆C的方程.解:(1)设F1(-c,0),F2(c,0),则焦距为2c,由题意直线l的方程为y=(x-c). F1到直线l的距离为2,∴=2,即c=2,故c=2.所以椭圆C的焦距为4.(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),由题意知y1<0,y2>0,直线l的方程为y=(x-2).联立得(3a2+b2)y2+4b2y-3b4=0.解得y1=,y2=.因为=2,所以-y1=2y2.即=2·.得a=3,而a2-b2=4,所以b=.故椭圆C的方程为+=1.圆锥曲线与平面向量相结合的问题,往往将向量问题化归为点的坐标的关系,由此关系进而解题.椭圆的几何性质考向聚焦高考必考内容,主要考查椭圆的离心率的求解,常以选择题、填空题或解答题一问的形式出现,难度中档偏上,所占分值4~5分3.(年新课标全国卷,文4,5分)设F1,F2是椭圆E:+=1(a>b>0)的左、右焦点,P为直线x=上一点,△F2PF1是底角为30°的等腰三角形,则E的离心率为()(A)(B)(C)(D)解析:如图,∠F1PF2=30°且|F1F2|=|F2P|,如图易知|AF2|=-c,Rt△PF2A中可求|PF2|==2|AF2|=3a-2c,又|F1F2|=2c,故3a-2c=2c,则离心率为e==.答案:C.本题借助数形结合,求得a与c的关系,体现了数形结合思想的重要性.4.(年江西卷,文8,5分)椭圆+=1(a>b>0)的左、右顶点分别是A,B,左、右焦点分别是F1,F2.若|AF1|,|F1F2|,|F1B|成等比数列,则此椭圆的离心率为()(A)(B)(C)(D)-2解析:本题考查椭圆的性质与等比数列的综合运用.由椭圆的性质可知|AF1|=a-c,|F1F2|=2c,|F1B|=a+c,又|AF1|,|F1F2|,|F1B|成等比数列,故(a-c)(a+c)=(2c)2,可得==e(舍去负值).故应选B.答案:B.圆锥曲线问题采用数形结合比较直观,可有效提高解题效率.5.(年新课标全国卷,文4)椭圆+=1的离心率为()(A)(B)(C)(D)解析: a2=16,b2=8,∴a=4,c2=a2-b2=8,∴c=2,∴e===.故选D.答案:D.6.(年广东卷,文7)若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列,则该椭圆的离心率是()(A)(B)(C)(D)解析:设椭圆的长轴长、短轴长、焦距分别为2a,2b,2c,由题意可得2a+2c=4b,a+c=2b,又b=,所以a+c=2,整理得5e2+2e-3=0,e=或e=-1(舍去).故选B.答案:B.7.(年四川卷,文15,4分)椭圆+=1(a为定值,且a>)的左焦点为F,直线x=m与椭圆相交于点A、B,△FAB的周长的最大值是12,则该椭圆的离心率是.解析:由对称性知道,当直线x=m过椭圆右焦点时,三角形FAB的周长最大,所以由题意可得4a=12,a=3,e====,故答案为.答案:8.(年全国卷Ⅰ,文16)已知F是椭圆C的一个焦点,B是短轴的一个端点,线段BF的延长线交C于点D,且=2,则椭圆C的离心率为.解析:设椭圆方程为+=1(a>b>0).B(0,b),F(c,0),D(x0,y0),则=(c,-b),=(x0-c,y0),由=2得x0=c,y0=-,代入椭圆...
