第一节几何证明选讲(选修41)相似三角形的判定与性质考向聚焦该考点主要考查相似三角形的判定与性质、直角三角形射影定理及平行线分线段成比例定理,一般不单独考查,常结合圆的有关知识,解决比例线段的计算与证明问题,难度不大,以填空题、解答题为主,分值5~10分备考指津(1)判定三角形相似的思路:①条件中若有一对角相等,可找另一对角相等或找夹这对角的两边成比例;②条件中若有两边的比相等,可找夹角相等或证另一组对应边的比等于已知两边的比;③条件中若有等腰三角形,可找顶角相等或找一对底角相等或两三角形的底和腰的比对应相等;(2)解题中要注意观察图形特点,巧添辅助线,构造平行或相似三角形,可起到事半功倍的效果1.(年陕西卷,文15)如图,∠B=∠D,AE⊥BC,∠ACD=90°,且AB=6,AC=4,AD=12,则AE=.解析:由∠B=∠D,AE⊥BC,∠ACD=90°知△ABE∽△ADC,则=,AE===2.答案:22.(年天津卷,文11)如图,四边形ABCD是圆O的内接四边形,延长AB和DC相交于点P,若PB=1,PD=3,则的值为.解析:在△ADP与△CBP中, ∠PBC=∠PDA,∠P=∠P,△CBP∽△ADP,∴=.又 PB=1,PD=3,∴=.答案:3.(年新课标全国卷,文22,10分)如图,D,E分别为△ABC边AB,AC的中点,直线DE交△ABC的外接圆于F,G两点.若CF∥AB,证明:(1)CD=BC;(2)△BCD∽△GBD.证明:(1)因为D,E分别为AB,AC的中点,所以BC∥DE.又CF∥AB,故四边形BCFD为平行四边形,所以CF=BD=AD.而CF∥AD,连结AF,所以ADCF是平行四边形,故CD=AF.由CF∥AB,所以BC=AF,故CD=BC.(2)因为FG∥BC,所以GB=CF,由(1)知BD=CF,所以GB=BD.而∠DGB=∠EFC=∠DBC=∠GDB,故△BCD∽△GBD.4.(年辽宁卷,文22,10分)如图,☉O和☉O'相交于A,B两点,过A作两圆的切线分别交两圆于C、D两点,连结DB并延长交☉O于点E.证明:(1)AC·BD=AD·AB;(2)AC=AE.证明:(1)由AC与☉O'相切于A,得∠CAB=∠ADB,同理∠ACB=∠DAB,所以△ACB∽△DAB,从而=,即AC·BD=AD·AB.(2)由AD与☉O相切于A,得∠AED=∠BAD,又∠ADE=∠BDA,得△EAD∽△ABD.从而=,即AE·BD=AD·AB,结合(1)的结论,AC=AE.5.(年辽宁卷,理22)如图,△ABC的角平分线AD的延长线交它的外接圆于点E.(1)证明:△ABE∽△ADC;(2)若△ABC的面积S=AD·AE,求∠BAC的大小.(1)证明:由已知条件,可得∠BAE=∠DAC.因为∠AEB与∠ACD是同弧所对的圆周角,所以∠AEB=∠ACD,故△ABE∽△ADC.(2)解:因为△ABE∽△ADC,所以=,即AB·AC=AD·AE.又S=AB·ACsin∠BAC,且S=AD·AE,故AB·ACsin∠BAC=AD·AE,则sin∠BAC=1.又∠BAC为三角形内角,所以∠BAC=90°.直线与圆的位置关系考向聚焦主要以填空题或解答题的形式考查应用圆的切线的性质与判定定理、相交弦定理、切割线定理、切线长定理、弦切角定理、圆周角定理及圆内接四边形的判定与性质定理等进行的有关计算或证明(求线段长度,线段成比例、线段相等、角相等、四点共圆等),难度中等,5~10分备考指(1)解决与圆有关的成比例线段问题的一般思路是:①直线应用相交弦定理、切割线定理等;②当比例式(等积式)中的线段分别在两个三角形中时,可转化为证三角形相似津(2)圆周角定理、弦切角定理在解决圆内有关等角问题时普遍应用(3)与圆有关辅助线的作法:①有弦,作弦心距;②有直径,作直径所对的圆周角;③有切点,作过切点的半径;④两圆相交,作公共弦;⑤两圆相切,作公切线6.(年陕西卷,文15B,5分)如图,在圆O中,直径AB与弦CD垂直,垂足为E,EF⊥DB,垂足为F,若AB=6,AE=1,则DF·DB=.解析: Rt△DEF∽Rt△DBE,∴=,即DE2=DF·DB,又由相交弦定理得DE2=AE·EB=1×5=5,∴DF·BD=5.答案:57.(年天津卷,文13,5分)如图,已知AB和AC是圆的两条弦,过点B作圆的切线与AC的延长线相交于点D.过点C作BD的平行线与圆相交于点E,与AB相交于点F,AF=3,FB=1,EF=,则线段CD的长为.解析:由相交弦定理知AF×FB=EF×FC,又 AF=3,FB=1,EF=,∴FC=2,又 FC∥BD,∴==,∴BD=,又 ==,∴AD=4CD.又由切割线定理知DB2=DC·DA,∴()2=4CD2,∴CD=.答案:8.(年陕西卷,文15)如图,已知Rt△ABC的两条直角边AC,BC的长分别为3cm,4cm,以AC为直径的圆与AB交于点D,则BD=cm.解析:法一:Rt△ABC中,AC=3,BC=4,∴AB=5.如图,连接CD,则CD⊥AB.由射影定理得BC2=BD·AB,即42=5·BD,∴BD=(cm).法二: ∠ACB=90°,AC=3,BC=4,AC为☉O的直径,∴AB=...
