【成才之路】-学年高中数学2.6距离的计算基础达标北师大版选修2-1一、选择题1．以下说法错误的是()A．两平行平面之间的距离就是一个平面内任一点到另一平面的距离B．点P到面α的距离公式是d＝|PA·|，其中A为面α内任一点，n为面α的法向量C．点P到直线l的距离公式是d＝|PA·|，其中A为直线l上任一点，a为l的法向量D．异面直线l1与l2，在l1上任取一点P，在l2上任取一点Q，则|PQ|的最小值，就是l1与l2的距离[答案]C[解析]选项C中，a必须与l以及PA共面时，此公式才成立．2．二面角α－l－β等于120°，A、B是棱l上两点，AC、BD分别在半平面α、β内，AC⊥l，BD⊥l，且AB＝AC＝BD＝1，则CD的长等于()A．B．C．2D．[答案]C[解析]如图所示， |AC|＝|AB|＝|BD|＝1，∴由DC＝DB＋BA＋AC得|DC|2＝DB2＋BA2＋AC2＋2DB·BA＋2DB·AC＋2BA·AC＝|DB|2＋|BA|2＋|AC|2＋2DB·AC＝3＋2cos(180°－120°)＝4，∴|DC|＝2.3．已知长方体ABCD－A1B1C1D1中，棱A1A＝5，AB＝12，那么直线B1C1到平面A1BCD1的距离是()A．5B．C．D．8[答案]C[解析]解法一： B1C1∥BC，且B1C1⊄平面A1BCD1，BC⊂平面A1BCD1，∴B1C1∥平面A1BCD1.从而点B1到平面A1BCD1的距离即为所求．过点B1作B1E⊥A1B于E点． BC⊥平面A1ABB1，且B1E⊂平面A1ABB1，∴BC⊥B1E.又BC∩A1B＝B，∴B1E⊥平面A1BCD1，在Rt△A1B1B中，B1E＝＝＝，因此直线B1C1和平面A1BCD1的距离为.解法二：以D为原点，DA、DC、DD1的方向为x、y、z轴正方向建立空间直角坐标系，则C(0,12,0)，D1(0,0,5)，设B(x,12,0)，B1(x,12,5)(x≠0)，设平面A1BCD1的法向量n＝(a，b，c)，由n⊥BC，n⊥CD1得n·BC＝(a，b，c)·(－x,0,0)＝－ax＝0，∴a＝0，n·CD1＝(a，b，c)·(0，－12,5)＝－12b＋5c＝0，∴b＝c，∴可取n＝(0,5,12)，B1B＝(0,0，－5)，∴B1到平面A1BCD1的距离d＝＝.二、填空题4．正方形ABCD与ABEF的边长都为a，若二面角E－AB－C的大小为30°，则EF到平面ABCD的距离为________．[答案]a[解析]EF到平面ABCD的距离即为点E到平面ABCD的距离，∴d＝a.5．在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别是A1B1、CD的中点，则点B到平面AEC1F的距离为________．[答案][解析]以D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(1,0,0)，F(0，，0)，E(1，，1)，B(1,1,0)．∴AE＝(0，，1)，AF＝(－1，，0)．设平面AEC1F的法向量为n＝(1，λ，μ)，则n·AE＝0，n·AF＝0.∴∴∴n＝(1,2，－1)．又 AB＝(0,1,0)，∴点B到平面AEC1F的距离d＝＝＝.三、解答题6．如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1＝1，D是棱CC1上的一点，P是AD的延长线与A1C1的延长线的交点，且PB1∥平面BDA1.(1)求证：CD＝C1D；(2)求二面角A－A1D－B的平面角的余弦值；(3)求点C到平面B1DP的距离．[解析]解法一：(1)连结AB1与BA1交于点O，连结OD. PB1∥平面BDA1，PB1平面AB1P，平面AB1P∩平面BDA1＝OD，∴OD∥PB1.又AO＝B1O，∴AD＝PD.又AC∥C1P，∴CD＝C1D.(2)过A作AE⊥DA1于点E，连结BE. BA⊥CA，BA⊥AA1，且AA1∩AC＝A，∴BA⊥平面AA1C1C.由三垂线定理可知BE⊥DA1.∴∠BEA为二面角A－A1D－B的平面角．在Rt△A1C1D中，A1D＝＝，又S△AA1D＝×1×1＝×·AE，∴AE＝.在Rt△BAE中，BE＝＝.∴cos∠BEA＝＝.故二面角A－A1D－B的平面角的余弦值为.(3)由题意知，点C到平面B1DP的距离是点C到平面DB1A的距离，设此距离为h. VC－DB1A＝VB1－ACD，∴S△DB1A·h＝S△ACD·B1A1.由已知可得AP＝，PB1＝，AB1＝，∴在等腰△AB1P中，S△AB1P＝AB1·＝，∴S△DB1A＝S△AB1P＝，又S△ACD＝AC·CD＝，∴h＝＝.故C到平面B1DP的距离等于.解法二：如图，以A1为原点，A1B1，A1C1，A1A所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系A1－xyz，则A1(0,0,0)，B1(1,0,0)，C1(0,1,0)，B(1,0,1)．(1)设C1D＝x， AC∥PC1，∴＝＝.由此可得D(0,1，x)，P(0,1＋，0)．∴A1B＝(1,0,1)，A1D＝(0,1，x)，B1P＝(－1,1＋，0)．设平面BA1D的一个法向量为n1＝(a，b，c)，则令c＝－1，则n2＝(1，x，－1) PB1∥平面BA1D，∴n1·B1P＝1×(－1)＋x·(1＋)＋(－1)×0＝0.由此可得x＝，故CD＝C1D.(2)由(1)知，平面BA1D的一个法向量n1...
