数学文化讲堂(五)一圆周率π材料一历史上，对于圆周率π的研究是古代数学一个经久不衰的话题，在我国，东汉初年《周髀算经》里就有“径一周三”的故率，公元前3世纪古希腊数学家阿基米德通过圆内接和外切正多边形逼近圆周的方法得到圆周率介于31071和317之间．我国魏晋时期刘徽首创“割圆术”，南朝祖冲之进一步求得π的值，他是第一个将其精确到7位的人．(华师九下P68)第1题图1.设半径为r的圆内接正n边形的周长为L，圆的直径为d，如图所示，当n＝6时，π≈Ld＝6r2r＝3，那么当n＝12时，π≈Ld＝________．(结果精确到0.01，参考数据：sin75°＝cos15°≈0.966)二《九章算术》——方田《九章算术》与古希腊欧几里得的《几何原本》并称现代数学的两大源泉，是中国古代《算经十书》中最重要的一种，它系统地总结了战国、秦、汉时期的数学成就，标志着以算筹为基础的中国古代数学体系的正式形成．全书分为9章，卷一“方田”中，详细记述了扇形、弓形、环形的面积计算方法．材料二“方田”篇中所记：宛田面积术曰：以径乘周，四而一．其中，宛田：扇形的田地；径：扇形的直径；周：扇形的弧长；意思是：扇形的面积＝直径×弧长÷4.2.请完成下列问题：(1)请用所学公式证明古人方法是否正确；(2)我们将弧长与半径相等的扇形叫作“等边扇形”，试求面积为16的“等边扇形”的弧长为________．材料三“方田”篇中还记载：弧田面积术曰：以弦乘矢，矢又自乘，二而一．即给出了计算弧田面积的经验公式：(弦×矢＋矢×矢)÷2.弧田(如图)，由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差(弓形的高)．3.按照上述经验公式计算所得的弧田面积与其实际面积之间存在误差，现有圆心角为120°，弦长等于9米的弧田．(1)计算弧田的实际面积；(2)按照材料中的经验公式计算所得结果与(1)中计算的弧田面积相差多少平方米？(结果保留两位小数，3≈1.732，π取3.14)三《周髀算经》《周髀算经》，原名《周髀》，是算经的十书之一．中国最古老的天文学和数学著作，约成书于公元前1世纪，主要阐述当时的盖天说和四分历法．材料四《周髀算经》中记载：周公与商高对话中，商高提出“环矩以为圆”．注解1：《中国数学史大系》第一卷中解释为：把矩的长短两只当作“规”的两只脚，直立于平面上，以矩的一端为枢，旋转时，另一端即可成圆．如图①.注解2：中国近代著名数学家李俨注解：“直角三角形固定弦，其直角顶点的轨迹便是圆”，如图②，数学家梁宗臣的看法与李俨相同，并在其《世界数学史简编》注明．请完成下列问题：4.注解1中，阐述了圆的定义：___________________________________________；5.注解2中说明直径所对的圆周角为________；6.已知一直角三角形的斜边长为4，结合材料，请探究这个直角三角形的面积是否存在最大值？若存在，请求出面积的最大值；若不存在，请说明理由．四婆罗摩笈多定理婆罗摩笈多，是一位印度数学家和天文学家，写了两部关于数学和天文学的书籍．他的一些数学成就在世界数学史上有较高的地位，他的负数概念及加减法运算仅晚于中国的《九章算术》，而他的负数乘除法则在全世界都是领先的．他还提出了著名的婆罗摩笈多定理．材料五婆罗摩笈多定理的内容及部分证明过程如下：已知：如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC⊥BD于点P，PM⊥AB于点M，延长MP交CD于点N，求证：CN＝DN.证明：在△ABP和△BMP中， AC⊥BD，PM⊥AB，∴∠BAP＋∠ABP＝90°，∠BPM＋∠MBP＝90°.∴∠BAP＝∠BPM. ∠DPN＝∠BPM，∠BAP＝∠BDC，∴⋯7.(1)请你阅读婆罗摩笈多定理的证明过程，完成剩余的证明部分．(2)已知：如图，△ABC内接于⊙O，∠B＝30°，∠ACB＝45°，AB＝2.点D在⊙O上，∠BCD＝60°，连接AD，与BC交于点P.作PM⊥AB于点M，延长MP交CD于点N，则PN的长为________．第7题图五阿基米德折弦定理阿基米德(公元前287～公元前212年，古希腊)是有史以来最伟大的数学家之一．他与牛顿、高斯并称为三大数学王子．阿拉伯Al－Binmi(973年～1050年)的译文中保存了阿基米德折弦定理的内容，苏联在1964年根据Al－Binmi译本出版了俄文版《阿基米德全集》，第一题就...
