【成才之路】-学年高中数学第2章解析几何初步基础巩固北师大版必修2一、选择题1．已知圆C：x2＋y2－4x＝0，l是过点P(3,0)的直线，则()A．l与C相交B．l与C相切C．l与C相离D．以上三个选项均有可能[答案]A[解析]本题考查了点与圆的位置关系．因为32－4×3＝－3<0，所以点P(3,0)在圆内，故过点P(3,0)的直线l与圆相交．本题不需要求解直线方程，只需判断点与圆的位置关系，便可得出答案．2．圆C1：x2＋y2＋4x－4y＋7＝0和圆C2：x2＋y2－4x－10y＋13＝0的公切线有()A．2条B．3条C．4条D．0条[答案]B[解析]由x2＋y2＋4x－4y＋7＝0，得圆心和半径分别为O1(－2,2)，r1＝1.由x2＋y2－4x－10y＋13＝0，得圆心和半径分别为O2(2,5)，r2＝4.因为d(O1，O2)＝5，r1＋r2＝5，即r1＋r2＝d(O1，O2)，所以两圆外切，由平面几何知识得两圆有3条公切线．3．(广东高考)垂直于直线y＝x＋1且与圆x2＋y2＝1相切于第一象限的直线方程是()A．x＋y－＝0B．x＋y＋1＝0C．x＋y－1＝0D．x＋y＋＝0[答案]A[解析]设直线方程为x＋y＋m＝0，直线与圆相切，则＝1，m＝－或m＝(由直线与圆的切点在第一象限知不合题意，故舍去)，所以选A.4．已知半径为1的动圆与圆(x－5)2＋(y＋7)2＝16相切，则动圆圆心的轨迹方程是()A．(x－5)2＋(y＋7)2＝25B．(x－5)2＋(y＋7)2＝17或(x－5)2＋(y＋7)2＝15C．(x－5)2＋(y＋7)2＝9D．(x－5)2＋(y＋7)2＝25或(x－5)2＋(y＋7)2＝9[答案]D[解析]设动圆圆心为(x，y)．当两圆内切时，＝4－1＝3，即(x－5)2＋(y＋7)2＝9；当两圆外切时，＝4＋1＝5，即(x－5)2＋(y＋7)2＝25.故应选D.二、填空题5．已知A＝{(x，y)|x2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|＋＝1}，若A∩B是单元素集，则a，b满足的关系式为________．[答案]a2＋b2＝a2b2[解析]∵A∩B是单元素集，∴直线＋＝1与圆x2＋y2＝1相切，由点到直线的距离公式可得：＝1，即a2＋b2＝a2b2.6．圆心在直线2x＋y＝0上，且与直线x＋y－1＝0切于点(2，－1)，则圆的方程是________________________．[答案](x－1)2＋(y＋2)2＝2[解析]∵圆与直线x＋y－1＝0相切，并切于点M(2，－1)．如图所示，则圆心必在过点M(2，－1)且垂直于x＋y－1＝0的直线l上，l的方程是y＋1＝x－2，即y＝x－3，联立方程组：解得即圆心O1(1，－2)，r＝＝.则方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝2.7．一个圆过(x＋3)2＋(y＋2)2＝13与(x＋2)2＋(y＋1)2＝1的交点，且圆心在y轴上，则这个圆的方程为________．[答案]x2＋y2－2y＋12＝0[解析]设圆的方程为(x2＋y2＋4x＋2y＋4)＋λ(x2＋y2＋6x＋4y)＝0，∴圆心坐标为(－，－)．∵圆心在y轴上，∴2＋3λ＝0.∴λ＝－，代入圆的方程化简即可．三、解答题8．设点P(x，y)在圆x2＋(y－1)2＝1上．(1)求的最小值；(2)求的最小值．[解析](1)式子的几何意义是圆上的点与定点(2,0)的距离．因为圆心(0,1)与定点(2,0)的距离是＝，圆的半径是1，所以的最小值是－1.(2)式子的几何意义是点P(x，y)与定点(－1，－2)连线的斜率．如图，当为切线l1时，斜率最小．设＝k，即kx－y＋k－2＝0，由直线与圆相切，得＝1，解得k＝.故的最小值是.
