【成才之路】-学年高中数学第4章§22.2第2课时生活中的优化问题举例同步测试北师大版选修1-1一、选择题1．要制做一个圆锥形的漏斗，其母线长为20cm，要使其体积最大，则高为()A.cmB.cmC.cmD.cm[答案]D[解析]设圆锥的高为x，则底面半径为，其体积为V＝πx(400－x2)(0＜x＜20)，V′＝π(400－3x2)，令V′＝0，解得x＝.当0＜x＜时，V′＞0；当＜x＜20时，V′＜0，所以当x＝时，V取最大值．2．将数8拆分为两个非负数之和，使其立方之和为最小，则分法为()A．2和6B．4和4C．3和5D．以上都不对[答案]B[解析]设一个数为x，则另一个数为8－x，则y＝x3＋(8－x)3,0≤x≤8，y′＝3x2－3(8－x)2，令y′＝0，即3x2－3(8－x)2＝0，解得x＝4.当0≤x<4时，y′<0，函数单调递减；当40，函数单调递增，所以x＝4时，y最小．3．用总长为6m的钢条制作一个长方体容器的框架，如果所制作容器的底面的相邻两边长之比为34，那么容器容积最大时，高为()A．0.5mB．1mC．0.8mD．1.5m[答案]A[解析]设容器底面相邻两边长分别为3xm、4xm，则高为＝(m)，容积V＝3x·4x·＝18x2－84x3，V′＝36x－252x2，由V′＝0得x＝或x＝0(舍去)．x∈时，V′>0，x∈时，V′<0，所以在x＝处，V有最大值，此时高为0.5m.4．内接于半径为R的球且体积最大的圆锥的高为()A．RB．2RC.RD.R[答案]C[解析]设圆锥高为h，底面半径为r，则R2＝(R－h)2＋r2，∴r2＝2Rh－h2，∴V＝πr2h＝h(2Rh－h2)＝πRh2－h3，V′＝πRh－πh2.令V′＝0得h＝R.当00；当0，∴当r＝时，表面积最小．6．福建炼油厂某分厂将原油精炼为汽油，需对原油进行冷却和加热，如果第x小时时，原油温度(单位：℃)为f(x)＝x3－x2＋8(0≤x≤5)，那么，原油温度的瞬时变化率的最小值是()A．8B.C．－1D．－8[答案]C[解析]瞬时变化率即为f′(x)＝x2－2x为二次函数，且f′(x)＝(x－1)2－1，又x∈[0,5]，故x＝1时，f′(x)min＝－1.二、填空题7．做一个无盖的圆柱形水桶，若要使其体积是27π，且用料最小，则圆柱的底面半径为________．[答案]3[解析]设圆柱的底面半径为R，母线长为L，则V＝πR2L＝27π，∴L＝，要使用料最省，只需使圆柱形表面积最小，∴S表＝πR2＋2πRL＝πR2＋2π，∴S′(R)＝2πR－＝0，令S′＝0得R＝3，∴当R＝3时，S表最小．8．一艘轮船在航行中的燃料费和它的速度的立方成正比，已知在速度为10km/h时燃料费是每小时6元，而其他与速度无关的费用是每小时96元，则此轮船的速度为______km/h航行时，能使行驶每公里的费用总和最小．[答案]20[解析]设船速为每小时x(x＞0)公里，燃料费为Q元，则Q＝kx3，由已知得：6＝k·103，∴k＝，即Q＝x3.记行驶每公里的费用总和为y元，则y＝(x3＋96)·＝x2＋y′＝x－，令y′＝0，即x－＝0，解之得：x＝20.这就是说，该函数在定义域(0，＋∞)内有唯一的极值点，该极值必有所求的最小值，即当船速为每小时20公里时，航行每公里的总费用最小，最小值为7.2元．9.如图所示，一窗户的上部是半圆，下部是矩形，如果窗户面积一定，窗户周长最小时，x与h的比为________．[答案]11[解析]设窗户面积为S，周长为L，则S＝x2＋2hx，h＝－x，∴窗户周长L＝πx＋2x＋2h＝x＋2x＋，∴L′＝＋2－.由L′＝0，得x＝，x∈时，L′<0，x∈时，L′>0，∴当x＝时，L取最小值，此时＝＝－＝－＝1.三、解答题10．(·福州市八县联考)永泰某景区为提高经济效益，现对某一景点进行改造升级，从而扩大内需，提高旅游增加值，经过市场调查，旅游增加值y万元与投入x(x≥10)万元之间满足：y＝f(x)＝ax2＋x－bln，a，b为常数．当x＝10万元时，y＝19.2万元；当x＝30万元时，y＝50.5万元．(参考数据：ln2＝0.7，ln3＝1.1，ln5＝1.6)．(1)求f(x)的解析式；(2)求该景点改造升级后旅游利润T(x)的最大值．(利润＝...
