3.1变化率与导数3.1.1变化率问题3.1.2导数的概念学习目标1.了解导数概念的实际背景.2.会求函数在某一点附近的平均变化率.3.会利用导数的定义求函数在某点处的导数．知识点一函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率假设如图是一座山的剖面示意图，并建立如图所示平面直角坐标系．A是出发点，H是山顶．爬山路线用函数y＝f(x)表示．自变量x表示某旅游者的水平位置，函数值y＝f(x)表示此时旅游者所在的高度．设点A的坐标为(x1，y1)，点B的坐标为(x2，y2)．思考1若旅游者从点A爬到点B，自变量x和函数值y的改变量分别是多少？答案自变量x的改变量为x2－x1，记作Δx，函数值的改变量为y2－y1，记作Δy.思考2怎样用数量刻画弯曲山路的陡峭程度？AB与BC哪一段更陡峭？答案①对山路AB来说，用ΔyΔx＝y2－y1x2－x1可近似地刻画其陡峭程度．②BC更陡峭．梳理(1)定义式：ΔyΔx＝fx2－fx1x2－x1，叫函数f(x)在区间[x1，x2]上的平均变化率．(2)实质：函数值的增量与自变量增量之比．(3)作用：刻画函数值在区间[x1，x2]上变化的快慢．(4)平均变化率的几何意义：设A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))是曲线y＝f(x)上任意不同的两点，函数y＝f(x)的平均变化率ΔyΔx＝fx2－fx1x2－x1＝fx1＋Δx－fx1Δx为割线AB的斜率，如图所示．特别提醒：Δx是变量x2在x1处的改变量，且x2是x1附近的任意一点，即Δx＝x2－x1≠0，但Δx可以为正，也可以为负．知识点二函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率定义式limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0fx0＋Δx－fx0Δx实质瞬时变化率是当自变量的改变量趋近于0时，平均变化率趋近的值作用刻画函数在某一点处变化的快慢特别提醒：“Δx无限趋近于0”的含义Δx趋于0的距离要多近有多近，即|Δx－0|可以小于给定的任意小的正数，且始终Δx≠0.知识点三导数的概念定义式limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0fx0＋Δx－fx0Δx记法f′(x0)或y′|x＝x0实质函数y＝f(x)在x＝x0处的导数就是y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率1．函数在某一点的导数与Δx值的正、负无关．(√)2．瞬时变化率是刻画某函数值在区间[x1，x2]上变化快慢的物理量．(×)3．在导数的定义中，Δx，Δy都不可能为零．(×)类型一函数的平均变化率命题角度1求函数的平均变化率例1求函数y＝2x2＋3在x0到x0＋Δx之间的平均变化率，并求当x0＝2，Δx＝－12时该函数的平均变化率．考点平均变化率的概念题点求平均变化率解当自变量从x0变化到x0＋Δx时，函数的平均变化率为ΔyΔx＝fx0＋Δx－fx0Δx＝[2x0＋Δx2＋3]－2x20＋3Δx＝4x0Δx＋2Δx2Δx＝4x0＋2Δx.当x0＝2，Δx＝－12时，平均变化率的值为4×2＋2×－12＝7.反思与感悟求平均变化率的主要步骤(1)先计算函数值的改变量Δy＝f(x2)－f(x1)．(2)再计算自变量的改变量Δx＝x2－x1.(3)得平均变化率ΔyΔx＝fx2－fx1x2－x1.跟踪训练1(1)已知函数f(x)＝x2＋2x－5的图象上的一点A(－1，－6)及邻近一点B(－1＋Δx，－6＋Δy)，则ΔyΔx＝________.(2)如图所示是函数y＝f(x)的图象，则函数f(x)在区间[－1,1]上的平均变化率为________；函数f(x)在区间[0,2]上的平均变化率为________．考点平均变化率的概念题点求平均变化率答案(1)Δx(2)1234解析(1)ΔyΔx＝f－1＋Δx－f－1Δx＝－1＋Δx2＋2－1＋Δx－5－－6Δx＝Δx.(2)函数f(x)在区间[－1,1]上的平均变化率为f1－f－11－－1＝2－12＝12.由函数f(x)的图象知，f(x)＝x＋32，－1≤x≤1，x＋1，1
