2．3.1双曲线的标准方程[对应学生用书P25]在平面直角坐标系中A(－3,0)，B(3,0)，C(0，－3)，D(0，3)．问题1：若动点M满足|MA－MB|＝4，设M的坐标为(x，y)，则x，y满足什么关系？提示：x24－y25＝1.问题2：若动点M满足|MC－MD|＝4，设M的坐标为(x，y)，则x，y满足什么关系？提示：y24－x25＝1.双曲线的标准方程焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)y2a2－x2b2＝1(a＞0，b＞0)焦点坐标(±c,0)(0，±c)a，b，c的关系c2＝a2＋b21．双曲线的标准方程与椭圆不同，左边是含x，y项的平方差，右边是1.2．在双曲线中，a>0且b>0，但a与b的大小关系不确定．3．在双曲线中a、b、c满足c2＝a2＋b2，与椭圆不同．[对应学生用书P26]用待定系数法求双曲线方程[例1]已知双曲线过点P(－2，－3)，Q153，2两点，求双曲线的标准方程．[思路点拨]解答本题可分情况设出双曲线的标准方程，再构造关于a、b、c的方程组求解，从而得出双曲线的标准方程．也可以设双曲线方程为mx2＋ny2＝1(mn<0)的形式，将两点代入，简化运算过程．[精解详析]法一：当双曲线的焦点在x轴上时，设双曲线方程为x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)， P(－2，－3)，Q153，2两点在双曲线上．∴(－2)2a2－(－3)2b2＝1，1532a2－(2)2b2＝1，解得1a2＝1，1b2＝13，即a2＝1，b2＝3，∴所求双曲线的标准方程为x2－y23＝1.当双曲线的焦点在y轴上时，设双曲线方程为y2a2－x2b2＝1(a>0，b>0)， P(－2，－3)，Q153，2两点在双曲线上，∴(－3)2a2－(－2)2b2＝1，(2)2a2－1532b2＝1.解得1a2＝－13，1b2＝－1，(不符合题意，舍去)．综上：所求双曲线的标准方程为x2－y23＝1.法二：设双曲线的方程为mx2＋ny2＝1(mn<0)，因为双曲线过两点P(－2，－3)，Q153，2，得m(－2)2＋n(－3)2＝1，m1532＋n(2)2＝1，解得m＝1，n＝－13，所以所求双曲线的标准方程为x2－y23＝1.[一点通]用待定系数法求双曲线方程的一般步骤为：1．根据下列条件，求双曲线的标准方程．(1)已知双曲线与椭圆x227＋y236＝1有共同的焦点，且过点(15，4)，求双曲线的方程；(2)c＝6，经过点(－5,2)，焦点在x轴上．解：(1)椭圆x227＋y236＝1的焦点坐标为F1(0，－3)，F2(0,3)，故可设双曲线的方程为y2a2－x2b2＝1.由题意，知a2＋b2＝9，42a2－(15)2b2＝1，解得a2＝4，b2＝5.故双曲线的方程为y24－x25＝1.(2) 焦点在x轴上，c＝6，∴设所求双曲线方程为x2λ－y26－λ＝1(其中0<λ<6)． 双曲线经过点(－5,2)，∴25λ－46－λ＝1，∴λ＝5或λ＝30(舍去)．∴所求双曲线方程是x25－y2＝1.2．求适合下列条件的双曲线的标准方程：(1)a＝4，c＝5，焦点在y轴上；(2)焦点为(0，－6)，(0,6)，经过点A(－5,6)．解：(1)由题设知，a＝4，c＝5，由c2＝a2＋b2，得b2＝c2－a2＝52－42＝9.因为双曲线的焦点在y轴上，所以所求双曲线的标准方程为y216－x29＝1.(2)由已知得c＝6，且焦点在y轴上．因为点A(－5,6)在双曲线上，所以点A与两焦点的距离的差的绝对值是常数2a，即2a＝|(－5－0)2＋(6＋6)2－(－5－0)2＋(6－6)2|＝|13－5|＝8，则a＝4，b2＝c2－a2＝62－42＝20.因此，所求双曲线的标准方程是y216－x220＝1.曲线方程的讨论[例2]若方程x25－m＋y2m2－2m－3＝1表示焦点在y轴上的双曲线，求实数m的取值范围．[思路点拨]由双曲线的焦点在y轴上，得关于m的不等式组，进而解不等式组求m的范围．[精解详析]由方程x25－m＋y2m2－2m－3＝1表示焦点在y轴上的双曲线，得5－m<0，m2－2m－3>0.解得m>5.所以实数m的取值范围是(5，＋∞)．[一点通]给出方程x2m＋y2n＝1(mn≠0)，当mn<0时，方程表示双曲线，当m>0，n<0时，表示焦点在x轴上的双曲线；当m<0，n>0时，表示焦点在y轴上的双曲线．3．k＞9是方程x29－k＋y2k－4＝1表示双曲线的____________条件(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)．解析：x29－k＋y2k－4＝1表示双曲线的充要条件是(9－k)·(k－4)＜0，即k＞9或k＜4.因为k＞9是k＞9或k＜4的充分不必要条件．即k＞9是方程x29－k＋y2k－4＝1表示双曲线的充分不必要条件．答案：充分不必要4．若方程x22－m＋y2|m|－3＝1表示焦点在x轴上的双曲线，则实数m的取值范围是________；...
