第三章数系的扩充与复数的引入章末复习课[整合·网络构建][警示·易错提醒]1．复数代数形式为z＝a＋bi，a、b∈R，应用复数相等的条件时，必须先将复数化成代数形式．2．复数表示各类数的前提条件是必须是代数形式z＝a＋bi(a、b∈R)．z为纯虚数的条件为a＝0且b≠0，注意虚数与纯虚数的区别．3．不要死记硬背复数运算的法则，复数加减可类比合并同类项，乘法可类比多项式乘法，除法可类比分母有理化．4．a2≥0是在实数范围内的性质，在复数范围内z2≥0不一定成立，|z2|≠z2.5．复数与平面向量相联系时，必须是以原点为始点的向量．6．不全为实数的两个复数不能比较大小．7．复平面的虚轴包括原点．专题一复数的概念解决与复数概念相关的问题时，复数问题实数化是求解的基本策略，“桥梁”是设z＝x＋yi(x，y∈R)，依据是“两个复数相等的充要条件”．[例1](1)已知a，b∈R，i是虚数单位，若(1＋i)(1－bi)＝a，则ab的值为________．(2)满足方程x2－2x－3＋(9y2－6y＋1)i＝0的实数对(x，y)表示的点有________．解析：(1)因为(1＋i)(1－bi)＝a(a，b∈R)，则1＋b＋i(1－b)＝a，因此1＋b＝a，1－b＝0，解得a＝2，b＝1.所以ab＝2.(2)x2－2x－3＝0，9y2－6y＋1＝0，所以x＝3或－1，y＝13，所以点(x，y)为3，13，－1，13.答案：(1)2(2)2个归纳升华1．当复数的实部与虚部含有字母时，利用复数的有关概念进行分类讨论，分别确定什么情况下是实数、虚数、纯虚数．当x＋yi没有说明x，y∈R时，也要分情况讨论．2．复数相等的充要条件，其实质是复数问题实数化，体现了转化与化归的思想．[变式训练]设i是虚数单位，复数1＋ai2－i为纯虚数，则实数a的值为()A．2B．－2C．－12D.12解析：1＋ai2－i＝（1＋ai）（2＋i）（2－i）（2＋i）＝2－a＋（2a＋1）i5，由于该复数为纯虚数，所以2－a＝0，且2a＋1≠0，因此a＝2.答案：A专题二复数的四则运算及几何意义历年高考对复数的考查，主要集中在复数的运算，尤其是乘除运算上，熟练掌握复数的乘法法则和除法法则，熟悉常见的结论是迅速准确求解的关键．复数的加法与减法运算有着明显的几何意义，因此有些问题的求解可结合加法与减法的几何意义进行．[例2](1)设z＝11＋i＋i＋1－i1＋i2，则|z|＝________．(2)在复平面内，复数z＝2i1＋i(i为虚数单位)的共轭复数对应点为A，点A关于原点O的对称点为B，求：①点A所在的象限；②向量AB→对应的复数．(1)解析：因为11＋i＋i＝1－i2＋i＝12＋i2.1－i1＋i2＝－2i22＝(－i)2＝－1.所以z＝12＋i2－1＝－12＋i2.因此|z|＝－122＋122＝22.答案：22(2)解：①z＝2i1＋i＝2i（1－i）（1＋i）（1－i）＝1＋i，所以z的共轭复数＝1－i，所以点A(1，－1)位于第四象限．②又点A，B关于原点O对称．因为点B的坐标为B(－1，1)，则zB＝－1＋i所以向量AB→对应的复数为zB－zA＝(－1＋i)－(1－i)＝－2＋2i.归纳升华复数代数形式的加、减、乘、除运算是本章的重点，在四则运算时，不要死记结论．对于复数代数形式的加、减、乘运算，要类比多项式的加、减、乘运算进行；对于复数代数形式的除法运算，要类比分式的分母有理化的方法进行．另外，在计算时也要注意下面结论的应用：(1)(a±b)2＝a2±2ab＋b2.(2)(a＋b)(a－b)＝a2－b2.(3)(1±i)2＝±2i.(4)1i＝－i.(5)1＋i1－i＝i，1－i1＋i＝－i.(6)a＋bi＝i(b－ai)．[变式训练]设O为坐标原点，已知向量OZ1→，OZ2→分别对应复数z1，z2，且z1＝3a＋5＋(10－a2)i，z2＝21－a＋(2a－5)i(a∈R)，若z－1＋z2可以与任意实数比较大小，求OZ1→·OZ2→的值．解：依题意得z－1＋z2为实数，又z－1＝3a＋5－(10－a2)i，所以z－1＋z2＝3a＋5＋21－a＋[(a2－10)＋(2a－5)]i的虚部为0，则a2＋2a－15＝0，解得a＝－5或a＝3.又a＋5≠0，所以a＝3.此时z1＝38＋i，z2＝－1＋i.所以OZ1→＝38，1，OZ2→＝(－1，1)．所以OZ1→·OZ2→＝38×(－1)＋1×1＝58.专题三共轭复数与复数的模共轭复数与复数的模是复数中两个重要的概念，在解决有关复数问题时，除用共轭复数定义与模的计算公式解题外，也常用下列结论简化解题过程：(1)|z|＝1?z＝.(2)z∈R?＝z.(3)z≠0，z为纯虚数?＝－z.[例3]已知z－1z＋1为纯虚数，且(z＋1)...
