高等数学A(二)试题与答案一、填空题(2×5=10分)1.点(2,1,1)到平面01zyx的距离为3.2.极限222limxyxyxxy0.3.交换积分次序dyyxfdxxsin020),(2arcsin10),(ydxyxfdy.4.设)(xf是周期为2的函数,它在区间(-1,1]上的定义为1001,,2)(3xxxxf则)(xf的Fourier级数在x=1处收敛于23.5.函数u=xyz在点(1,1,1)处沿方向(2,2,1)的方向导数为35.二、选择题(2×5=10分)6.二元函数22),(yxyxf在点(0,0)处(A)A.连续,但偏导数不存在;B.不连续;且偏导数不存在;C.不连续;但偏导数存在;D.连续,且偏导数存在.7.设第二类曲面积分SSzdzdxxyIxyzdzdxI221,,其中S为1222zyx的上半部分,方向取上侧,若S1为S在第一卦限部分,且与S方向一致,则(A)A.021II;B.12212,0SzdzdxxyII;C.112212,2SSzdzdxxyIxyzdzdxID.0,2211IxyzdzdxIS8.设为R3中开区域，且内任意一条闭曲线总可以张成一片完全属于的曲面，函数P,Q,R在内连续可导，若曲线积分dzRQdyPdxL只依赖于曲线L的端点，而与积分路径无关，则下述命题不正确的是（D）A.对内任意光滑闭曲线C，曲线积分0dzRQdyPdxC；B.存在上某个三元函数u(x,y,z),使得RdzQdyPdxdu;C.等式yRzQzPxRxQyP,,在开区域内恒成立;D.等式0zRyQxP在开区域内恒成立.9.设函数),(yxf在开区域D内有二阶连续偏导数,且),(00yxfx=),(00yxfy=0.则下列为),(yxf在点),(00yx处取极小值的充分条件的是(A)A.),(00yxfxx>0,),(00yxfxx),(00yxfyy-),(002yxfxy>0;B.),(00yxfxx>0,),(00yxfxx),(00yxfyy-),(002yxfxy<0;C.),(00yxfxx<0,),(00yxfxx),(00yxfyy-),(002yxfxy>0;D.),(00yxfxx<0,),(00yxfxx),(00yxfyy-),(002yxfxy<0.10.设函数),,(zyxfu具有二阶连续偏导数,则divgradf=(A)A.xxfyyf+zzf;B.xf+yf+zf;C.(xf,yf,zf);D.(xxf,yyf,zzf).三、计算题(10×3+12×2=54分)11.设平面0:bzayx通过曲面22yxz在点(1,1,2)处的法线L,求ba,的值.解:设zyxzyxF22),,(则曲面S在点(1,1,2)处的法向量为:)1,2,2()1,2,2(),,()1,2,2()2,1,1(yxFFFzyx由题设可知平面∏通过法线L,故:0)1,2,2()1,,1(,021aba即0321aba,由此解得25,23ba.12.计算第二类曲线积分Lyxxdyydx22,其中L为正方形边界1yx,取顺时针方向.解:令2222),(,),(yxxyxQyxyyxP,则I=LQdyPdx,当022yx时,yPyxyxxQ22222)(.取一小圆周0,:222yxC充分小,使得C完全位于L所围成的区域内,取逆时针方向。设D为由L与C所围成的区域,则由Green公式得CLDdxdyyPxQQdyPdx0)(.所以LQdyPdx202)cos)(cos()sin)(sin(dQdyPdxC=.220d13.计算第一类曲面积分dSzyxz222,其中∑为圆柱面)0(222RRyx介于平面z=0与z=h(h>0)之间的部分.解法(一):设x=Rcosu,y=Rsinu,z=v,则∑对应于D:hvu0,20.1,0,0,0,cos,sinvvvuuuzyxzuRyuRx故,1,0,2GFRERFEG2.于是,原式=DhdvvRvduRRdudvvRv2002222RhRRRhRRhvRR222222ln2]ln2)[ln(0)ln(212解法(二):hzRyRDzyyRxSyz0,:),(,:2212222221,0,yRRxxxyRyxzyzy.由对称性有:dSzyxz222hRRDzRzdzyRdyRdydzyRRzRzyz02222222222RhRRRhRRzRRyRhRR22222022ln2ln22)ln(arcsin14.将函数xxfarctan)(展开成x的幂级数,并求级数012)1(nnn的和.解:∵02022)1()()1(11)(nnnnnnxxxxf,∴001202012)1()1()0()()(nnnnxnnxnxdtfdttfxf此级数的收敛域为[-1,1],又因为)(xf在x=1处连续,令x=1,可得:4)1(12)1(0fnnn15.设函数)(uf具有二阶连续导数,且)sin(yefzx,(1)求2222,yzxz;解:∵yeufyuufyzyeufxuufxzxxcos)()(,sin)()(∴yeufyeufxzxxsin)(sin)(2222,yeufyeufyzxxsin)(cos)(2222(2)若函数)sin(yefzx满足方程zeyzxzx22222,求函数)(uf解:将(1)中结果代入方程,得zeeufxx22)(即:0)()(ufuf这是一个二阶常系数线性齐次微分方程,相应的特征方程为012特征根为1,121故uueCeCuf21)(,其中21,CC为任意常数。四、应用题(10×1+6×1=16分)16.将一根长为l的铁丝分割成两段,一段围成一个圆,另一段围成一个长方形.求使得圆面积与长方形面积之和最大的分割方法.解:设所围成的圆的半径为x,长方形的长、宽分别为y,z。原问题转化为求函数yzxS2在条件lzyx)(22下的最大值。为此,构造Lagrange函数)222(),,,(2lzyxyzxzyxL。,022xLx02zLy,,02yLz0)(22lzyxL。得2,zyx,代入4,82820lzylxlL17.已知一条非均匀金属线L放置于平面Oxy上,刚好为抛物线2xy对应于10x的那一段,且它在点(x,y)处的线密度xyx),(,求该金属丝的质量.解:).155(121)41(12141),(10232102xdxxxdsyxML五、证明题(6×1+4×1=10分)18.证明级数11ln)1(nnnn条件收敛.证明:)11ln(1lnnnn为n的单调递减,且0)11ln(limnn。故由Leibniz判别法知,11ln)1(nnnn收敛。而,11lnlim11lnlimnnnnnnnn且nn1发散,故由比较判别法可知11lnnnn发散。综上所述,原级数条件收敛。19.设空间闭区域可表示为yzxyxxzyx,1,10/),,(.若)(tf在[0,1]上连续,且)()()(),,(zfyfxfzyxF.试证明:103])([61),,(dttfdxdydzzyxF证明:设xdttfxF0)()(,则)()(xfxF左边=31031031021211010110110))((61)]1([61)]1()([61)]()1()[(21)]()([21)()]()()[()(])()[()()()()(dttfFFxFdxxFFxfdxxFyFxfdyxFyFyfxfdxdyzFyfxfdxdzzfyfxfdydxyxyxxyzxzxyx=右边
