讲义无穷小极限的简单计算【教学目的】1、理解无穷小与无穷大的概念;2、掌握无穷小的性质与比较会用等价无穷小求极限;3、不同类型的未定式的不同解法。【教学容】1、无穷小与无穷大;2、无穷小的比较;3、几个常用的等价无穷小等价无穷小替换;4、求极限的方法。【重点难点】重点是掌握无穷小的性质与比较用等价无穷小求极限。难点是未定式的极限的求法。【教学设计】首先介绍无穷小和无穷大的概念和性质(30分钟),在理解无穷小与无穷大的概念和性质的基础上,让学生重点掌握用等价无穷小求极限的方法(20分钟)。最后归纳总结求极限的常用方法和技巧(25分钟),课堂练习(15分钟)。【授课容】一、无穷小与无穷大1.定义前面我们研究了n数列nx的极限、x(x、x)函数xf的极限、0xx(0xx、0xx)函数()fx的极限这七种趋近方式。下面我们用x*表示上述七种的某一种趋近方式,即*000xxxxxxxxxn定义:当在给定的x*下,()fx以零为极限,则称()fx是x*下的无穷小,即0limxfx*。例如,,0sinlim0xx.0sin时的无穷小是当函数xx,01limxx.1时的无穷小是当函数xx,0)1(limnnn.})1({时的无穷小是当数列nnn【注意】不能把无穷小与很小的数混淆;零是可以作为无穷小的唯一的数,任何非零常量都不是无穷小。定义:当在给定的x*下,xf无限增大,则称xf是x*下的无穷大,即xfx*lim。显然,n时,、、、32nnn都是无穷大量,【注意】不能把无穷大与很大的数混淆;无穷大是极限不存在的情形之一。无穷小与无穷大是相对的,在不同的极限形式下,同一个函数可能是无穷小也可能是无穷大,如0limxxe,xxelim,所以xe当x时为无穷小,当x时为无穷大。2.无穷小与无穷大的关系:在自变量的同一变化过程中,如果xf为无穷大,则xf1为无穷小;反之,如果xf为无穷小,且0xf,则xf1为无穷大。小结:无穷大量、无穷小量的概念是反映变量的变化趋势,因此任何常量都不是无穷大量,任何非零常量都不是无穷小,谈及无穷大量、无穷小量之时,首先应给出自变量的变化趋势。3.无穷小与函数极限的关系:定理10lim()()(),xxxfxAfxAx其中)(x是自变量在同一变化过程0xx(或x)中的无穷小.证:(必要性)设0lim(),xxfxA令()(),xfxA则有0lim()0,xxx).()(xAxf(充分性)设()(),fxAx其中()x是当0xx时的无穷小,则00lim()lim(())xxxxfxAx)(lim0xAxx.A【意义】(1)将一般极限问题转化为特殊极限问题(无穷小);(2)0()(),().fxxfxAx给出了函数在附近的近似表达式误差为3.无穷小的运算性质定理2在同一过程中,有限个无穷小的代数和仍是无穷小.【注意】无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小.是无穷小,时例如nn1,,.11不是无穷小之和为个但nn定理3有界函数与无穷小的乘积是无穷小.如:01)1(limnnn,01sinlim0xxx,0sin1limxxx推论1在同一过程中,有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小.推论2常数与无穷小的乘积是无穷小.推论3有限个无穷小的乘积也是无穷小.二、无穷小的比较例如,2210,,,sin,sinxxxxxx当时都是无穷小,观察各极限:xxx3lim20,0;32要快得多比xxxxxsinlim0,1;sin大致相同与xx2201sinlimxxxxxx1sinlim0.不存在不可比.极限不同,反映了趋向于零的“快慢”程度不同.1.定义:设,是自变量在同一变化过程中的两个无穷小,且0.(1)lim0,,();o如果就说是比高阶的无穷小记作;),0(lim)2(是同阶的无穷小与就说如果CClim1,~;特殊地如果则称与是等价的无穷小,记作(3)lim(0,0),.kCCkk如果就说是的阶的无穷小例1.tan4,0:3的四阶无穷小为时当证明xxxx证:430tan4limxxxx30)tan(lim4xxx,4.tan4,03的四阶无穷小为时故当xxxx例2.sintan,0的阶数关于求时当xxxx解30sintanlimxxxx)cos1tan(lim20xxxxx,21.sintan的三阶无穷小为xxx2.常用等价无穷小:,0时当x(1)xsin~x;(2)xarcsin~x;(3)xtan~x;(4)xarctan~x;(5))1ln(x~x;(6)1xe~x(7)xcos1~22x(8)1)1(x~x(9)1xa~lnax用等价无穷小可给出函数的近似表达式:,1lim,0lim),(o即).(o于是有例如),(sinxoxx).(211cos22xoxx3.等价无穷小替换定理:.limlim,lim~,~则存在且设证:lim)lim(limlimlim.lim例3(1).cos12tanlim20xxx求;(2)1cos1lim20xexx解:(1).2~2tan,21~cos1,02...