讲义无穷小极限的简单计算【教学目的】1、理解无穷小与无穷大的概念；2、掌握无穷小的性质与比较会用等价无穷小求极限；3、不同类型的未定式的不同解法。【教学容】1、无穷小与无穷大；2、无穷小的比较；3、几个常用的等价无穷小等价无穷小替换；4、求极限的方法。【重点难点】重点是掌握无穷小的性质与比较用等价无穷小求极限。难点是未定式的极限的求法。【教学设计】首先介绍无穷小和无穷大的概念和性质（30分钟），在理解无穷小与无穷大的概念和性质的基础上,让学生重点掌握用等价无穷小求极限的方法（20分钟）。最后归纳总结求极限的常用方法和技巧（25分钟），课堂练习（15分钟）。【授课容】一、无穷小与无穷大1.定义前面我们研究了n数列nx的极限、x（x、x）函数xf的极限、0xx（0xx、0xx）函数()fx的极限这七种趋近方式。下面我们用x＊表示上述七种的某一种趋近方式，即＊000xxxxxxxxxn定义：当在给定的x＊下，()fx以零为极限，则称()fx是x＊下的无穷小，即0limxfx＊。例如,,0sinlim0xx.0sin时的无穷小是当函数xx,01limxx.1时的无穷小是当函数xx,0)1(limnnn.})1({时的无穷小是当数列nnn【注意】不能把无穷小与很小的数混淆；零是可以作为无穷小的唯一的数，任何非零常量都不是无穷小。定义：当在给定的x＊下，xf无限增大，则称xf是x＊下的无穷大，即xfx＊lim。显然，n时，、、、32nnn都是无穷大量，【注意】不能把无穷大与很大的数混淆；无穷大是极限不存在的情形之一。无穷小与无穷大是相对的，在不同的极限形式下，同一个函数可能是无穷小也可能是无穷大，如0limxxe，xxelim，所以xe当x时为无穷小，当x时为无穷大。2．无穷小与无穷大的关系：在自变量的同一变化过程中，如果xf为无穷大，则xf1为无穷小；反之，如果xf为无穷小，且0xf，则xf1为无穷大。小结：无穷大量、无穷小量的概念是反映变量的变化趋势，因此任何常量都不是无穷大量，任何非零常量都不是无穷小，谈及无穷大量、无穷小量之时，首先应给出自变量的变化趋势。3.无穷小与函数极限的关系:定理10lim()()(),xxxfxAfxAx其中)(x是自变量在同一变化过程0xx（或x）中的无穷小.证：（必要性）设0lim(),xxfxA令()(),xfxA则有0lim()0,xxx).()(xAxf（充分性）设()(),fxAx其中()x是当0xx时的无穷小，则00lim()lim(())xxxxfxAx)(lim0xAxx.A【意义】（1）将一般极限问题转化为特殊极限问题(无穷小);（2）0()(),().fxxfxAx给出了函数在附近的近似表达式误差为3.无穷小的运算性质定理2在同一过程中,有限个无穷小的代数和仍是无穷小.【注意】无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小.是无穷小，时例如nn1,,.11不是无穷小之和为个但nn定理3有界函数与无穷小的乘积是无穷小.如：01)1(limnnn，01sinlim0xxx，0sin1limxxx推论1在同一过程中,有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小.推论2常数与无穷小的乘积是无穷小.推论3有限个无穷小的乘积也是无穷小.二、无穷小的比较例如，2210,,,sin,sinxxxxxx当时都是无穷小，观察各极限：xxx3lim20,0;32要快得多比xxxxxsinlim0,1;sin大致相同与xx2201sinlimxxxxxx1sinlim0.不存在不可比.极限不同,反映了趋向于零的“快慢”程度不同.1．定义:设,是自变量在同一变化过程中的两个无穷小，且0.(1)lim0,,();o如果就说是比高阶的无穷小记作;),0(lim)2(是同阶的无穷小与就说如果CClim1,~;特殊地如果则称与是等价的无穷小，记作(3)lim(0,0),.kCCkk如果就说是的阶的无穷小例1.tan4,0:3的四阶无穷小为时当证明xxxx证：430tan4limxxxx30)tan(lim4xxx,4.tan4,03的四阶无穷小为时故当xxxx例2.sintan,0的阶数关于求时当xxxx解30sintanlimxxxx)cos1tan(lim20xxxxx,21.sintan的三阶无穷小为xxx2．常用等价无穷小:,0时当x（1）xsin～x；（2）xarcsin～x；（3）xtan～x；（4）xarctan～x；（5）)1ln(x～x；（6）1xe～x（7）xcos1～22x（8）1)1(x～x（9）1xa～lnax用等价无穷小可给出函数的近似表达式:,1lim,0lim),(o即).(o于是有例如),(sinxoxx).(211cos22xoxx3．等价无穷小替换定理：.limlim,lim~,~则存在且设证：lim)lim(limlimlim.lim例3（1）.cos12tanlim20xxx求；（2）1cos1lim20xexx解:（1）.2~2tan,21~cos1,02...
