专题突破练26圆锥曲线中的最值、范围、证明问题1.(2020山东潍坊一模,21)在平面直角坐标系xOy中,F1,F2分别为椭圆C:??2??2+??2??2=1(a>b>0)的左、右焦点,A为椭圆的右顶点,点P为椭圆C上的动点(点P与椭圆C的左、右顶点不重合),当△PF1F2为等边三角形时,其面积为√3.(1)求椭圆C的方程;(2)如图,M为AP的中点,直线MO交直线x=-4于点D,过点O作OE∥AP交直线x=-4于点E,证明∠OEF1=∠ODF1.2.(2020百校联考高考百日冲刺金卷,19)已知△PF1F2中,F1(-1,0),F2(1,0),|PF1|=4,点Q在线段PF1上,且|PQ|=|QF2|.(1)求点Q的轨迹E的方程;(2)若点M,N在曲线E上,且M,N,F1三点共线,求△F2MN面积的最大值.3.(2020山东泰安一模,21)已知椭圆C:??2??2+??2??2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,直线l:y=kx+m与椭圆C相交于P,Q两点;当直线l经过椭圆C的下顶点A和右焦点F2时,△F1PQ的周长为4√2,且l与椭圆C的另一个交点的横坐标为43.(1)求椭圆C的方程;(2)点M为△POQ内一点,O为坐标原点,满足??????????+??????????+??????????=0,若点M恰好在圆O:x2+y2=49上,求实数m的取值范围.4.(2020山东聊城一模,20)已知椭圆C:??2??2+??2??2=1(a>b>0)的长轴长为4,右焦点为F,且椭圆C上的点到点F的距离的最小值与最大值的积为1,圆O:x2+y2=1与x轴交于A,B两点.(1)求椭圆C的方程;(2)动直线l:y=kx+m与椭圆C交于P,Q两点,且直线l与圆O相切,求△APQ的面积与△BPQ的面积乘积的取值范围.5.(2019湖北恩施高三2月教学质量检测)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,其准线l:x=-1与x轴的交点为K,过点K的直线l与抛物线C交于A,B两点.(1)求抛物线C的方程;(2)点A关于x轴的对称点为D,证明:存在实数t∈(0,1),使得?????????=t??????????+(1-t)??????????.6.(2020云南昆明高三“三诊一模”教学质量检测,21)椭圆规是画椭圆的一种工具,如图1所示,在十字形滑槽上各有一个活动滑标M,N,有一根旋杆将两个滑标连成一体,|MN|=4,D为旋杆上的一点且在M,N两点之间,且|ND|=3|MD|,当滑标M在滑槽EF内作往复运动,滑标N在滑槽GH内随之运动时,将笔尖放置于D处可画出椭圆,记该椭圆为C.如图2所示,设EF与GH交于点O,以EF所在的直线为x轴,以GH所在的直线为y轴,建立平面直角坐标系.(1)求椭圆C的方程;(2)设A1,A2是椭圆C的左、右顶点,点P为直线x=6上的动点,直线A1P,A2P分别交椭圆于Q,R两点,求四边形A1QA2R面积的最大值.专题突破练26圆锥曲线中的最值、范围、证明问题1.(1)解设椭圆C的半焦距为c,因为△PF1F2是等边三角形,所以此时P在上顶点或下顶点处,所以a=2c,所以bc=√3.又由a2=b2+c2,解得c2=1,a2=4,b2=3,故椭圆的方程为??24+??23=1.(2)证明由题意知A(2,0),设AP的中点M(x0,y0),P(x1,y1),设直线AP的方程为y=k(x-2)(k≠0),将其代入椭圆方程整理得(4k2+3)x2-16k2x+16k2-12=0,所以x1+2=16??24??2+3,所以x0=8??24??2+3,y0=k(x0-2)=-6??4??2+3,即M的坐标为(8??24??2+3,-6??4??2+3),从而kOM=-6??4??2+38??24??2+3=-34??,所以直线OM的方程为y=-34??x,令x=-4,得D(-4,3??),直线OE的方程为y=kx,令x=-4,得E(-4,-4k),由F1(-1,0),得??????1=-4??-3=4??3,所以kOM·??????1=-1,即OM⊥EF1,记垂足为H,因为??????1=3??-3=-1??,kOE=kAP=k,所以OE⊥DF1,记垂足为G.在直角三角形EHO和直角三角形DGO中,∠ODF1和∠OEF1都与∠EOD互余,所以∠ODF1=∠OEF1.2.解(1)因为|PQ|=|QF2|,故|QF1|+|QF2|=|QF1|+|QP|=|PF1|=4>|F1F2|=2,故点Q的轨迹是以F1,F2为焦点,长轴长为4的椭圆(不包含长轴的端点).故点Q的轨迹E的方程为??24+??23=1(x≠±2).(2)直线MN过点F1(-1,0),设直线MN的方程为x=ky-1,M(x1,y1),N(x2,y2),联立{??=????-1,??24+??23=1,消去x得(4+3k2)y2-6ky-9=0,∴{??1+??2=6??3??2+4,??1??2=-93??2+4,∴??△??2????=12·|F1F2|·|y1-y2|=12√??2+13??2+4.令√??2+1=t,则t≥1,∴??△??2????=123??+1??.令f(t)=3t+1??,则f'(t)=3-1??2,当t∈[1,+∞)时,f'(t)>0,f(t)=3t+1??在[1,+∞)上单调递增.∴??△??2????=123??+1??≤3,当t=1时取等号.即当k=0时,△F2MN面积的最大值为3.3.解(1)由题意知4a=4√2,∴a=√2,直线AF2的方程为y=????(x-c). 直线AF2与椭圆C的另一个交点的横坐标为43,∴{??=????(43-??),(43)22+??2??2=1,解得c=1或c=2(舍...
