第07讲：导数中的双变量存在性和任意性问题的处理【知识要点】在平时的数学学习和高考中，我们经常会遇到不等式的双变量的存在性和任意性问题，学生由于对于这类问题理解不清，很容易和不等式的恒成立问题混淆，面对这类问题总是感到很棘手，或在解题中出现知识性错误.1、双存在性问题“存在．．．),(1bax，存在．．),(2dcx，使得)()(21xgxf成立”．称为不等式的双存在性问题，存在．．),(1bax，存在．．),(2dcx，使得)()(21xgxf成立，即)(xf在区间),(ba内至少有一个值．．．．．．)(xf比函数)(xg在区间),(dc内的一个函数值．．．．．小.，即maxmin)()(xgxf.（见下图1）“存在．．),(1bax，存在．．),(2dcx，使得)()(21xgxf成立”，即在区间),(ba内至少有．．．一个值．．．)(xf比函数)(xg在区间),(dc内的一个函数值．．．．．大，即minmax)()(xgxf.（见下图2）2、双任意性问题“任意．．),(1bax，对任意．．的),(2dcx，使得)()(21xgxf成立”称为不等式的双任意性问题.任意．．),(1bax，对任意．．的),(2dcx，使得)()(21xgxf成立，即)(xf在区间),(ba任意一个值．．．．．)(xf比函数)(xg在区间),(dc内的任意．．一个函数值都要小，即maxmin()()fxgx.“任意．．),(1bax，对任意．．的),(2dcx，使得)()(21xgxf成立”，即)(xf在区间),(ba内任意一．．．个值．．)(xf比函数)(xg在区间),(dc内的任意．．一个函数值都要大,即minmax()()fxgx.3、存在任意性问题“存在．．),(1bax，对任意．．的),(2dcx，使得)()(21xgxf成立”称为不等式的存在任意性问题.存在．．),(1bax，对任意．．的),(2dcx，使得)()(21xgxf成立，即)(xf在区间),(ba内至少有一个值．．．．．．)(xf比函数)(xg在区间),(dc内的任意．．一个函数值都要小，即minmin)()(xgxf.（见下图3）“存在．．),(1bax，对任意．．的),(2dcx，使得)()(21xgxf成立”，即)(xf在区间),(ba内至少有一个值．．．．．．)(xf比函数)(xg在区间),(dc内的任意．．一个函数值都要大，即maxmax)()(xgxf.（见下图4）【方法讲评】题型一双存在性问题使用情景不等式中的两个自变量属性都是存在性的.解题理论存在．．),(1bax，存在．．),(2dcx，使得)()(21xgxf成立”称为不等式的双存在性问题，存在．．),(1bax，存在．．),(2dcx，使得)()(21xgxf成立，即)(xf在区间),(ba内至少有一个值．．．．．．)(xf比函数)(xg在区间),(dc内的一．个函数值．．．．小，即maxmin)()(xgxf.“存在．．),(1bax，存在．．),(2dcx，使得)()(21xgxf成立”，即在区间),(ba内至少有一个值．．．．．．)(xf比函数)(xg在区间),(dc内的一个函数值．．．．．大，即minmax)()(xgxf.【例1】已知函数34ln0afxxaxax.（Ⅰ）讨论fx的单调性；（Ⅱ）当1a时，设242xgxexa，若存在1x，2122x，，使12fxgx，求实数a的取值范围.（e为自然对数的底数，271828e）当01a时，0，1240xxa，1230axxa12140aaxa,22140aaxa当10xx，时，0hx，fx单调递减，当12xxx，时，0hx，fx单调递增，当2xx，时，0hx，fx单调递减，所以当0a时，fx的减区间为304，，增区间34，.当1a时，fx的减区间为0，.当01a时，fx的减区间为2140aaa，，214aaa，增区间为214214aaaaaa，.（Ⅱ）由（Ⅰ）可知fx在122，上的最大值为134ln2622fa，24xgxe，令0gx，得ln2x.1ln22x，时，0gx，gx单调递减，ln22x，，0gx，gx单调递增，所以gx在122，上的最小值为ln244ln22ga，由题意可知34ln2644ln222aa，解得4a,所以14a.【点评】（1）存在性问题和任意性问题都是最值关系问题，关键是是什么样的最值关系，所以务必理解清楚,不能含糊.(2)对于存在性问题和任意性问题的理解可以数形结合理解（见前面的知识要点），也可以这样记忆，双存在性问题两边的最值相反.【反馈检测1】设函数2()()()xfxxaxbexR，（1）若1x是函数)(xf的一个极值点，试求出b关于a的关系式（用a表示b）,并确定)(xf的单调区间；（2）在（1）的条件下，设0a，函数42)14()(xeaxg，若存在]4,0[,21使得1|)()(|21gf成立，求a的取值范围.题型二双任意性问题使用情景不等式的两个自变量属性都是任意的.解题理论“任意．．),(1bax，对任意．．的),(2dcx，使得)()(21xgxf成立”称为不等式的...
