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高考数学玩转压轴题专题10已知不等恒成立讨论单调或最值VIP免费

高考数学玩转压轴题专题10已知不等恒成立讨论单调或最值_第1页
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专题2.10已知不等恒成立讨论单调或最值【题型综述】不等式恒成立的转化策略一般有以下几种:①分离参数+函数最值;②直接化为最值+分类讨论;③缩小范围+证明不等式;④分离函数+数形结合。通过讨论函数的单调性及最值,直接化为最值的优点是函数结构简单,是不等式恒成立的通性通法,高考参考答案一般都是以这种解法给出,缺点是一般需要分类讨论,解题过程较长,解题层级数较多,不易掌握分类标准。【典例指引】例1.设yfx是xgxe在点0,1处的切线.(Ⅰ)求yfx的解析式;(Ⅱ)求证:fxgx;(Ⅲ)设lnhxgxfxax,其中aR.若1hx对0,x恒成立,求a的取值范围.【思路引导】(Ⅰ)由导数值得切线斜率,进而得切线方程,即可求函数f(x)的解析式;(Ⅱ)令mxgxfx,求导证得00mxm;(Ⅲ)1e1xhxax,①当2a时,由(Ⅰ)得e1xx,可得0hx,进而得hx在区间0,上单调递增,01hxh恒成立,②当2a时,可得hx在区间0,上单调递增,存在00,x,使得00hx,001hxh,此时1hx不会恒成立,进而得的取值范围.当0x时,'0mx,故mx单调递减;当0x时,'0mx,故mx单调递增.所以,00mxm(xR).所以fxgx.点睛:导数问题经常会遇见恒成立的问题:(1)根据参变分离,转化为不含参数的函数的最值问题;(2)若0fx就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值,最终转化为min0fx,若0fx恒成立max0fx;(3)若fxgx恒成立,可转化为minmaxfxgx(需在同一处取得最值).例2.函数.(Ⅰ)讨论的单调性;(Ⅱ)若且满足:对,,都有,试比较与的大小,并证明.【思路引导】(1)求出'fx,讨论两种情况分别令'0fx可得增区间,'0fx可得得减区间;(2)由(Ⅰ)知在上单调递减,在上单调递增,所以对,,都有等价于,可得,令,研究其单调性,可得,进而可得结果.(Ⅱ)当时,由得.由(Ⅰ)知在上单调递减,在上单调递增,所以对,,都有等价于即解得;令,,当时,,单调递减;当时,,单调递增;又,所以.即,所以.例3.已知函数1xbfxe(bR,e为自然对数的底数)在点0,0f处的切线经过点2,2.(Ⅰ)讨论函数FxfxaxaR的单调性;(Ⅱ)若xR,不等式11xefxcx恒成立,求实数c的取值范围.【思路引导】(Ⅰ)求出'fx,由过点0,1,2,2b的直线的斜率为'1210022bbkfb可得1b,讨论两种情况,分别由'0fx得增区间,'0fx得减区间;(Ⅱ)原不等式等价于不等式0xecxc恒成立,利用导数研究xgxecxc的单调性,求其最小值,令其最小值不小于零即可得结果.(Ⅱ)不等式11xefxcx恒成立,即不等式0xecxc恒成立,设,xxgxecxcgxec,若0c,则0gx,函数gx单调递增且不存在最小值,不满足题意;当0c时,由0xgxec得lnxxc,当,lnxc时,0,gxgx单调递减;当ln,xc时,0,gxgx单调递增,所以lnlnln2lncgxgcecccccc,要使得0gx恒成立,只需2ln0ccc恒成立,由于0c,所以有ln2c,解得20ec,即当2,0ce时,0gx恒成立,即0xecxc恒成立,也即不等式11xefxcx恒成立,所以实数c的取值范围为2,0e.【同步训练】1.已知函数21,R2xxfxeaxx.(1)当2a,求fx的图象在点0,0f处的切线方程;(2)若对任意0x都有0fx恒成立,求实数a的取值范围.【思路引导】(1)由于是在那点,所以求导可得(2)对f(x)求导xf'xexa,再求导xh'xe1,当x0时f'xf'01a,所以对a1和a1分类讨论。单调递增,''01fxfa,当1a时,'0,fxfx,在0,单调递增,00fxf恒成立;当1a时,存在当00,x,使0'0fx,则fx在00,x单调递减,在0,x单调递增,则当00,xx时,00fxf,不合题意,综上,则实数a的取值范围为,1.点睛:函数与导数中恒成立与存在性问题,一般是转化成最值问题,常用的两种处理方法:(1)分离参数(2)带参求导,本题采用带参求导。2.已知函数22fxxax,2xgxebx,若曲线yfx和曲线ygx在0x处的切线都垂直于直线40xy.(Ⅰ)求a,b的值.(Ⅱ)若2x时,fxkgx,求k的取值范围.【思路引导】(Ⅰ)根据导数的几何意义求解即可。(Ⅱ)由(Ⅰ)设22142xFxkgxfxkexxx,则22e1xFxxk,故只需证0Fx即可。由题意得00F,即1k,又由0Fx,得1lnxk,22x,分21ek,2ek,2ek三种情况分别讨论判断0Fx是否恒成立即可得到结论。(iii)若2ek,0Fx,则Fx在2,上单调递增,而2222222ee0Fkek,从而当2x时,fxkgx不可...

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