高考数学玩转压轴题专题10已知不等恒成立讨论单调或最值VIP专享VIP免费

专题2.10已知不等恒成立讨论单调或最值【题型综述】不等式恒成立的转化策略一般有以下几种：①分离参数＋函数最值；②直接化为最值＋分类讨论；③缩小范围＋证明不等式；④分离函数＋数形结合。通过讨论函数的单调性及最值，直接化为最值的优点是函数结构简单，是不等式恒成立的通性通法，高考参考答案一般都是以这种解法给出，缺点是一般需要分类讨论，解题过程较长，解题层级数较多，不易掌握分类标准。【典例指引】例1．设yfx是xgxe在点0,1处的切线．（Ⅰ）求yfx的解析式；（Ⅱ）求证：fxgx；（Ⅲ）设lnhxgxfxax，其中aR．若1hx对0,x恒成立，求a的取值范围．【思路引导】（Ⅰ）由导数值得切线斜率，进而得切线方程，即可求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）令mxgxfx，求导证得00mxm；（Ⅲ）1e1xhxax，①当2a时，由（Ⅰ）得e1xx，可得0hx，进而得hx在区间0,上单调递增，01hxh恒成立，②当2a时，可得hx在区间0,上单调递增，存在00,x，使得00hx，001hxh，此时1hx不会恒成立，进而得的取值范围．当0x时，'0mx，故mx单调递减；当0x时，'0mx，故mx单调递增．所以，00mxm(xR）．所以fxgx．点睛：导数问题经常会遇见恒成立的问题：（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；（2）若0fx就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为min0fx，若0fx恒成立max0fx；（3）若fxgx恒成立，可转化为minmaxfxgx（需在同一处取得最值）．例2．函数.（Ⅰ）讨论的单调性；（Ⅱ）若且满足：对，，都有，试比较与的大小，并证明.【思路引导】（1）求出'fx，讨论两种情况分别令'0fx可得增区间，'0fx可得得减区间；（2）由（Ⅰ）知在上单调递减，在上单调递增，所以对，，都有等价于，可得，令，研究其单调性，可得，进而可得结果.（Ⅱ）当时，由得.由（Ⅰ）知在上单调递减，在上单调递增，所以对，，都有等价于即解得；令，，当时，，单调递减；当时，，单调递增；又，所以.即，所以.例3．已知函数1xbfxe（bR，e为自然对数的底数）在点0,0f处的切线经过点2,2．（Ⅰ）讨论函数FxfxaxaR的单调性；（Ⅱ）若xR，不等式11xefxcx恒成立，求实数c的取值范围．【思路引导】（Ⅰ）求出'fx，由过点0,1,2,2b的直线的斜率为'1210022bbkfb可得1b，讨论两种情况，分别由'0fx得增区间，'0fx得减区间；（Ⅱ）原不等式等价于不等式0xecxc恒成立，利用导数研究xgxecxc的单调性，求其最小值，令其最小值不小于零即可得结果.（Ⅱ）不等式11xefxcx恒成立，即不等式0xecxc恒成立，设,xxgxecxcgxec，若0c，则0gx，函数gx单调递增且不存在最小值，不满足题意；当0c时，由0xgxec得lnxxc，当,lnxc时，0,gxgx单调递减；当ln,xc时，0,gxgx单调递增，所以lnlnln2lncgxgcecccccc，要使得0gx恒成立，只需2ln0ccc恒成立，由于0c，所以有ln2c，解得20ec，即当2,0ce时，0gx恒成立，即0xecxc恒成立，也即不等式11xefxcx恒成立，所以实数c的取值范围为2,0e．【同步训练】1．已知函数21,R2xxfxeaxx.（1）当2a，求fx的图象在点0,0f处的切线方程；（2）若对任意0x都有0fx恒成立，求实数a的取值范围.【思路引导】（1）由于是在那点，所以求导可得（2）对f(x)求导xf'xexa，再求导xh'xe1，当x0时f'xf'01a，所以对a1和a1分类讨论。单调递增，''01fxfa，当1a时，'0,fxfx，在0,单调递增，00fxf恒成立；当1a时，存在当00,x，使0'0fx，则fx在00,x单调递减，在0,x单调递增，则当00,xx时，00fxf，不合题意，综上，则实数a的取值范围为,1.点睛：函数与导数中恒成立与存在性问题，一般是转化成最值问题，常用的两种处理方法：（1）分离参数（2）带参求导，本题采用带参求导。2．已知函数22fxxax，2xgxebx，若曲线yfx和曲线ygx在0x处的切线都垂直于直线40xy．（Ⅰ）求a，b的值．（Ⅱ）若2x时，fxkgx，求k的取值范围．【思路引导】（Ⅰ）根据导数的几何意义求解即可。（Ⅱ）由（Ⅰ）设22142xFxkgxfxkexxx，则22e1xFxxk，故只需证0Fx即可。由题意得00F，即1k，又由0Fx，得1lnxk，22x，分21ek，2ek，2ek三种情况分别讨论判断0Fx是否恒成立即可得到结论。（iii）若2ek，0Fx，则Fx在2,上单调递增，而2222222ee0Fkek，从而当2x时，fxkgx不可...