专题3.2复杂数列的求和问题一．方法综述数列的求和问题是数列高考中的热点问题，数列的求和问题会渗透多种数学思想，会跟其他知识进行结合进行考查.因此求解过程往往方法多、灵活性大、技巧性强，但万变不离其宗，只要熟练掌握各个类型的特点即可.在考试中时常会考查一些压轴小题，如数列求和中的新定义问题、子数列中的求和问题、奇偶性在数列求和中的应用、周期性在数列求和中的应用、数列求和的综合问题中都有所涉及，本讲就这类问题进行分析.二．解题策略类型一数列求和中的新定义问题【例1】【2018届广东省中山市第一中学高三月考】定义12nnpppL为n个正数1p，2p，L，np的“均倒数”，若已知数列na的前n项的“均倒数”为121n，又14nnab，则122334201720181111bbbbbbbbL（）A.20152016B.20162017C.20172018D.12017所以1223342017201811111111112017112232017201820182018bbbbbbbbLL，故选C．【答案】C【指点迷津】1.“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.对于此题中的新概念，对阅读理解能力有一定的要求.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.2.解决此类问题的一些技巧：（1）此类问题在设立问题中通常具有“环环相扣，层层递进”的特点，第（1）问让你熟悉所创设的定义与背景，第（2），（3）问便进行进一步的应用，那么在解题的过程中要注意解决前面一问中的过程与结论，因为这本身就是对“新信息”的诠释与应用.抓住“新信息”的特点，找到突破口，第（2）（3）问便可寻找到处理的思路（2）尽管此类题目与传统的数列“求通项，求和”的风格不同，但其根基也是我们所学的一些基础知识与方法.所以在考虑问题时也要向一些基本知识点靠拢，弄清本问所考察的与哪个知识点有关，以便找到一些线索.（3）在分类讨论时要遵循“先易后难”的原则，以相对简单的情况入手，可能在解决的过程中会发现复杂情况与该情况的联系，或者发现一些通用的做法与思路，使得复杂情况也有章可循.【举一反三】【2018安徽省巢湖市柘皋中学第三次月考】已知数列na的前n项和为nS，定义11niiSn为数列na前n项的叠加和，若2016项数列1232016,,,aaaaL的叠加和为2017，则2017项数列1220161,,,aaaL的叠加和为()A.2017B.2018C.22017D.22018故选A．【答案】A类型二子数列中的求和问题【例2】【河南省南阳市2018届高三上学期期中质量评估】已知有穷数列na中，1,2,3,,729nL，且1211nnan，从数列na中依次取出2514,,,aaaL构成新数列nb，容易发现数列nb是以-3为首项，-3为公比的等比数列，记数列na的所有项的和为S，数列nb的所有项的和为T，则（）A.STB.STC.STD.S与T的大小关系不确定【解析】因为728135727291127292sL，133372921nnnb，所以6n，当6n时，6729b是na中第365项，符合题意，所以631354613T,所以ST，选A.【答案】A【指点迷津】一个数列中某些项的求和问题，关键在于弄清楚新的数列的形式，了解其求和方法.【举一反三】【安徽省淮南市第二中学、宿城第一中学2018届高三第四次考试】已知*nN，集合13521,,,,2482nnnML，集合nM的所有非空子集的最小元素之和为nT，则使得80nT的最小正整数n的值为（）A.12B.13C.14D.15∴nT=S1+S2+S3+⋯+Sn=212n+2237531......222442nn则21802n的最小正整数n为13故选B【答案】B类型三奇偶性在数列求和中的应用【例3】【江苏省淮安中学2018届高三数学月考】已知函数2cosfnnn，且1nafnfn，则123aaaL100a__________．【解析】n为偶数时，22121nannn；n为奇数时，22121nannn；123aaaL100a3579199201250100L【答案】-100【指点迷津】数列求和中遇到n)1(，nsin，ncos都会用到奇偶性，进行分类讨论.再采用分组转化法求和或者并项求和的方法，即通过两个一组进行重新组合，将原数列转化为一个等差数列.分组转化法求和的常见类型还有分段型（如,{2,nnnnan为奇数为偶数）及符号型（如21nnan）【举一反三】【黑龙江省大庆实验中学2018届高三上学期期中考试】设数列na...
