高中数学 第四章 定积分章末总结 北师大版选修2-2VIP免费

【步步高学案导学设计】-学年高中数学第四章定积分章末总结北师大版选修2-2知识点一定积分的几何意义当f(x)≥0时，定积分ʃf(x)dx在几何上表示曲线y＝f(x)、直线x＝a、x＝b与x轴围成的曲边梯形的面积．利用定积分的几何意义可以将一些定积分转化为对应图形的面积，计算一些简单的定积分．例1求ʃdx的值．知识点二微积分基本定理利用微积分基本定理是计算定积分的常用办法，和定义比较起来大大减少运算量．在计算时主要是找被积函数的原函数，结合定积分的性质，根据牛顿—莱布尼茨公式进行计算．例2求ʃdx.例3求ʃdx的值．知识点三利用定积分求平面图形的面积和简单几何体的体积曲边梯形的面积或者可以分割成曲边梯形的图形的面积，可以根据定积分和相关公式进行计算．在计算中关键是确定积分的上限和积分的下限，要充分结合图形进行分析；由连续曲线y＝f(x)、直线x＝a、x＝b及x轴所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周而成的几何体，则该旋转体的体积为V＝ʃπ[f(x)]2dx.例4求曲线y＝sinx与直线x＝－，x＝π，y＝0所围成图形的面积．例5求由y＝，y＝x所围图形绕x轴旋转的旋转体的体积．知识点四定积分的物理意义利用定积分还可以解决一些变速运动的路程以及变力做功问题等，其基本思想和求曲边梯形的面积类似，主要是找到被积函数以及积分的上下限．例6变速直线运动的物体的速度为v(t)＝1－t2，初始位置为x0＝1，求它在前2秒内所走过的路程及2秒末所在的位置．知识点五定积分的综合应用定积分是解决函数问题的一个工具，在一些问题中，可以通过建立函数模型，结合定积分的几何意义解决．例7在区间[0,1]上给定曲线y＝x2，如图所示，试在此区间内确定点t的值，使图中的阴影部分的面积S1与S2之和最小．答案重点解读例1解根据定积分的几何意义，ʃdx表示由直线x＝－2，x＝2，y＝0以及曲线y＝所围成的曲边梯形的面积，而这个图形是以原点为圆心，以2为半径的上半圆，故ʃdx＝2π.例2解∵′＝x＋.∴ʃdx＝|＝－＝＋ln2.例3解ʃdx＝ʃdx＋ʃdx＝ʃdx＋ʃdx.∵′＝2－x＋，′＝x－2＋，∴ʃdx＝|＋|＝.例4解所求面积S＝ʃπ－|sinx|dx＝－ʃ0－sinxdx＋ʃsinxdx－ʃππsinxdx＝1＋2＋＝4－.例5解画出图形V＝ʃπ[()2－x2]dx＝ʃπ(x－x2)dx＝π|＝.例6解当0≤t≤1时，v(t)≥0；当1≤t≤2时，v(t)<0.所以，前2秒内所走过的路程为S＝ʃv(t)dt＋ʃ[－v(t)]dt＝ʃ(1－t2)dt＋ʃ(t2－1)dt＝|＋|＝2.2秒末所在的位置：x＝x0＋ʃv(t)dt＝1＋ʃ(1－t2)dt＝1＋|＝1＋2－＝.所以它在前2秒内所走过的路程为2,2秒末所在的位置为x＝.例7解面积S1等于边长为t与t2的矩形的面积去掉曲线y＝x2与x轴、直线x＝t围成的面积，即S1＝t·t2－ʃx2dx＝t3.面积S2等于曲线y＝x2与x轴，x＝t，x＝1围成的面积去掉矩形面积，矩形边长分别为t2，(1－t)，即S2＝ʃx2dx－t2(1－t)＝t3－t2＋.所以阴影部分面积S为：S＝S1＋S2＝t3－t2＋(0≤t≤1)，由S′(t)＝4t2－2t＝4t＝0，得t＝0，或t＝.由于当00，所以S(t)在0