2.4等比数列(一)课时目标1．理解等比数列的定义，能够利用定义判断一个数列是否为等比数列．2．掌握等比数列的通项公式并能简单应用．3．掌握等比中项的定义，能够应用等比中项的定义解决有关问题．1．如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示(q≠0)．2．等比数列的通项公式：an＝a1qn－1.3．等比中项的定义如果a、G、b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，且G＝±.一、选择题1．在等比数列{an}中，an>0，且a2＝1－a1，a4＝9－a3，则a4＋a5的值为()A．16B．27C．36D．81答案B解析由已知a1＋a2＝1，a3＋a4＝9，∴q2＝9.∴q＝3(q＝－3舍)，∴a4＋a5＝(a3＋a4)q＝27.2．已知等比数列{an}满足a1＋a2＝3，a2＋a3＝6，则a7等于()A．64B．81C．128D．243答案A解析∵{an}为等比数列，∴＝q＝2.又a1＋a2＝3，∴a1＝1.故a7＝1·26＝64.3．已知等比数列{an}中，各项都是正数，且a1，a3,2a2成等差数列，则等于()A．1＋B．1－C．3＋2D．3－2答案C解析设等比数列{an}的公比为q，∵a1，a3,2a2成等差数列，∴a3＝a1＋2a2，∴a1q2＝a1＋2a1q，∴q2－2q－1＝0，∴q＝1±.∵an>0，∴q>0，q＝1＋.∴＝q2＝(1＋)2＝3＋2.4．如果－1，a，b，c，－9成等比数列，那么()A．b＝3，ac＝9B．b＝－3，ac＝9C．b＝3，ac＝－9D．b＝－3，ac＝－9答案B解析∵b2＝(－1)×(－9)＝9且b与首项－1同号，∴b＝－3，且a，c必同号．∴ac＝b2＝9.5．一个数分别加上20,50,100后得到的三个数成等比数列，其公比为()A.B.C.D.答案A解析设这个数为x，则(50＋x)2＝(20＋x)·(100＋x)，解得x＝25，∴这三个数45,75,125，公比q为＝.6．若正项等比数列{an}的公比q≠1，且a3，a5，a6成等差数列，则等于()A.B.C.D．不确定答案A解析a3＋a6＝2a5，∴a1q2＋a1q5＝2a1q4，∴q3－2q2＋1＝0，∴(q－1)(q2－q－1)＝0(q≠1)，∴q2－q－1＝0，∴q＝(q＝<0舍)∴＝＝.二、填空题7．已知等比数列{an}的前三项依次为a－1，a＋1，a＋4，则an＝________.答案4·()n－1解析由已知(a＋1)2＝(a－1)(a＋4)，得a＝5，则a1＝4，q＝＝，∴an＝4·()n－1.8．设数列{an}为公比q>1的等比数列，若a4，a5是方程4x2－8x＋3＝0的两根，则a6＋a7＝________.答案18解析由题意得a4＝，a5＝，∴q＝＝3.∴a6＋a7＝(a4＋a5)q2＝(＋)×32＝18.9．首项为3的等比数列的第n项是48，第2n－3项是192，则n＝________.答案5解析设公比为q，则⇒⇒q2＝4，得q＝±2.由(±2)n－1＝16，得n＝5.10．一个直角三角形的三边成等比数列，则较小锐角的正弦值是________．答案解析设三边为a，aq，aq2(q>1)，则(aq2)2＝(aq)2＋a2，∴q2＝.较小锐角记为θ，则sinθ＝＝.三、解答题11．已知{an}为等比数列，a3＝2，a2＋a4＝，求{an}的通项公式．解设等比数列{an}的公比为q，则q≠0.a2＝＝，a4＝a3q＝2q，∴＋2q＝.解得q1＝，q2＝3.当q＝时，a1＝18，∴an＝18×n－1＝2×33－n.当q＝3时，a1＝，∴an＝×3n－1＝2×3n－3.综上，当q＝时，an＝2×33－n；当q＝3时，an＝2×3n－3.12．已知数列{an}的前n项和为Sn，Sn＝(an－1)(n∈N*)．(1)求a1，a2；(2)求证：数列{an}是等比数列．(1)解由S1＝(a1－1)，得a1＝(a1－1)，∴a1＝－.又S2＝(a2－1)，即a1＋a2＝(a2－1)，得a2＝.(2)证明当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(an－1)－(an－1－1)，得＝－，又＝－，所以{an}是首项为－，公比为－的等比数列．能力提升13．设{an}是公比为q的等比数列，|q|>1，令bn＝an＋1(n＝1,2…，)，若数列{bn}有连续四项在集合{－53，－23,19,37,82}中，则6q＝________.答案－9解析由题意知等比数列{an}有连续四项在集合{－54，－24，18,36,81}中，由等比数列的定义知，四项是两个正数、两个负数，故－24,36，－54,81，符合题意，则q＝－，∴6q＝－9.14．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an＋1，(1)求证：数列{an＋1}是等比数列；(2)求an的表达式．(1)证明∵an＋1＝2an＋1，∴an＋1＋1＝2(an＋1)，∴＝2.∴{an＋1}是等比数列，公比为2，首项为2.(2)解由(1)知{an＋1}是等比数列．公比为2，首项a1＋1＝2.∴an＋1＝(a1＋1)·2n－1＝2n.∴an＝2n－1.1．等比数列的判断或证明(1)利用定义：＝q(与n无关的常数)．(2)利用等比中项：a＝anan＋2(n∈N*)．2．等比数列{an}的通项公式an＝a1qn－1共涉及an，a1，q，n四个量．已知其中三个量可求得第四个．
