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习题课导数在研究函数中的应用一、基础过关1.函数f(x)＝xcosx的导函数f′(x)在区间[－π，π]上的图象大致是()2.函数y＝xcosx－sinx在下面哪个区间内是增函数()A.B.(π，2π)C.D.(2π，3π)3.已知函数f(x)＝＋lnx，则有()A.f(2)0，函数f(x)＝x3－ax在[1∞，＋)上单调递增，则a的最大值为________.6.若函数y＝x3＋x2＋m在[－2,1]上的最大值为，则m＝________.二、能力提升7.已知函数f(x)、g(x)均为[a，b]上的可导函数，在[a，b]上连续且f′(x)0时，有f′(x)>0，g′(x)>0，则当x<0时，有()A.f′(x)>0，g′(x)>0B.f′(x)>0，g′(x)<0C.f′(x)<0，g′(x)>0D.f′(x)<0，g′(x)<09.直线y＝a与函数f(x)＝x3－3x的图象有三个相异的交点，则a的取值范围是________.10.已知函数f(x)＝x3－ax2＋3x＋6，若x＝3是f(x)的一个极值点，求f(x)在[0，a]上的最值.11.设函数f(x)＝x＋ax2＋blnx，曲线y＝f(x)过P(1,0)，且在P点处的切线斜率为2.(1)求a，b的值；(2)证明：f(x)≤2x－2.三、探究与拓展12.已知a∈R，函数f(x)＝(－x2＋ax)ex(x∈R).(1)当a＝2时，求函数f(x)的单调区间；(2)若函数f(x)在(－1,1)上单调递增，求a的取值范围.答案1.A2.B3.A4.D5.36.27.A8.B9.(－2,2)10.解f′(x)＝3x2－2ax＋3，由已知得f′(3)＝0，∴3×9－6a＋3＝0.∴a＝5，∴f(x)＝x3－5x2＋3x＋6.令f′(x)＝3x2－10x＋3＝0，得x1＝，x2＝3.则x，f′(x)，f(x)的变化关系如下表.x03(3,5)5f′(x)＋0－0＋f(x)6递增6递减－3递增21∴f(x)在[0,5]上的最大值为f(5)＝21，最小值为f(3)＝－3.11.(1)解f′(x)＝1＋2ax＋.由已知条件得即解得(2)证明因为f(x)的定义域为(0∞，＋)，由(1)知f(x)＝x－x2＋3lnx.设g(x)＝f(x)－(2x－2)＝2－x－x2＋3lnx，则g′(x)＝－1－2x＋＝－.当00，当x>1时，g′(x)<0.所以g(x)在(0,1)内单调递增，在(1∞，＋)内单调递减.而g(1)＝0，故当x>0时，g(x)≤0，即f(x)≤2x－2.12.解当a＝2时，f(x)＝(－x2＋2x)ex，f′(x)＝(－x2＋2)ex.当f′(x)>0时，(－x2＋2)ex>0，注意到ex>0，所以－x2＋2>0，解得－0，因此－x2＋(a－2)x＋a≥0在(－1,1)上恒成立，也就是a≥＝x＋1－在(－1,1)上恒成立.设y＝x＋1－，则y′＝1＋>0，即y＝x＋1－在(－1,1)上单调递增，则y<1＋1－＝，故a≥.

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