--两自由度系统的振动VIP免费

第5章两自由度系统的振动应用单自由度系统的振动理论，可以解决机械振动中的一些问题。但是，工程中有很多实际问题必须简化成两个或两个以上自由度，即多自由度的系统，才能描述其机械振动的主要特征。多自由度系统的振动特性与单自由度系统的振动特性有较大的差别，例如，有多个固有频率、主振型、主振动和多个共振频率等。本章主要介绍研究两自由度系统机械振动的基本方法。如图5-1所示。平板代表车身，它的位置可以由质心C偏离其平衡位置的铅直位移z及平板的转角来确定。这样，车辆在铅直面内的振动问题就被简化为一个两自由度的系统。双质量弹簧系统的自由振动5.1.1运动微分方程图5-2(a)表示两自由度的弹簧质量系统。略去摩擦力及其它阻尼，以它们各自的静平衡位置为坐标x1、x2的原点，物体离开其平衡位置的位移用x1、x2表示。两物体在水平方向的受力图如图5-2(b)所示，由牛顿第二定律得00)(2212222212111xkxkxmxkxkkxm(5-1)这就是两自由度系统的自由振动微分方程。习惯上写成下列形式00212211dxcxxbxaxx(5-2)图5-1车辆模型图5-2两自由度的弹簧质量系统显然此时2212121,,mkdcmkbmkka但对不同的系统，式(5-2)中各系数的意义并不相同。5.1.2固有频率和主振型根据微分方程的理论，设方程(5-2)的解，即两自由度无阻尼自由振动系统的解为)sin()sin(2211ptAxptAx(5-3)或写成以下的矩阵形式)sin(2121ptAAxx(5-4)将式(5-4)代入式(5-2)，可得代数齐次方程组002122AApdcbpa(5-5)保证式(5-5)具有非零解的充分必要条件是式(5-5)的系数行列式等于零，即0)(222pdcbpap展开后为0)(24bcadpdap(5-6)式(5-6)唯一确定了频率p满足的条件，通常称为频率分程或特征方程。它是2p的二次代数方程，它的两个特征根为)(22222,1bcaddadapbcdada222(5-7)由于式(5-7)确定的2p的两个正实根仅取决于系统本身的物理性质，与运动的初始条件无关，因此p称为系统的固有频率。较小的一个称为第一阶固有频率，较大的一个称为第二阶固有频率。5.2.2主振型将固有频率p1和p2分别代入式(5-5)的任一式，可得到对应于它们的振幅比2222)2(1)2(222121)1(1)1(21pdcbpaAApdcbpaAA(5-8)以上二式说明，虽然振幅的大小与振动的初始条件有关，但当系统以任一阶固有频率作同步谐振动时，振幅比却和固有频率一样只决定于系统本身的物理性质。同时联系到式(5-3)不难看出两个质量块任意瞬时位移的比值12xx也同样是确定的，并且等于振幅比，即：2)2(1)2(21)1(1)1(2,xxxx(5-9)其它各点的位移则都可以由1x和2x所决定。这样在振动过程中，系统各点位移的相对比值都可由振幅比确定。也就是说，振幅比决定了整个系统的振动形态，因之称为主振型。与1p对应的振幅比1称为第一阶主振型，与2p对应的振幅比2称为第二阶主振型。将式(5-7)中的p1、p2之值带入式(5-8)，得022102212221bcdadabbcdadab(5-10)这表明，系统以频率1p振动时，质量m1与m2按同一方向运动；以频率2p振动时，总是按相反的方向运动。系统以某一阶固有频率按其相应的主振型运动，称为系统的主振动。第一阶主振动为)sin()sin()sin(11)1(1111)1(2)1(211)1(1)1(1tpAtpAxtpAx(5-11)第二阶主振动为)sin()sin()sin(22)2(1222)2(2)2(222)2(1)2(1tpAtpAxtpAx(5-12)可见系统作主振动时，各点同时经过平衡位置和最大偏离位置，以确定的频率和振型作简谐振动。但必须指出，并非任何情况下系统都可能作主振动。根据微分方程理论，两自由度系统的自由振动微分方程(5-1)的通解，是它的两个主振动的线性组合，即)sin()sin()()sin()sin()(22)2(1211)1(11)2(2)1(2222)2(111)1(1)2(1)1(11tpAtpAxxtxtpAtpAxxtx(5-13)上式可以写成如下的矩阵形式，即)sin()sin(22)2(12)2(111)1(11)1(121tpAAtpAAxx(5-14)式中21)2(1)1(1,,,AA由运动的初始条件确定。所以一般情况下，系统的自由振动是两个不同频率的主振动的叠加，其结果不一定是简谐振动。例5-1试求图5-3(a)所示两个自由度系统振动的固有频率和主振型。已知各弹簧的弹簧常量k1＝k2＝k3＝k，物体的质量m1＝m，m2＝2m。解：（1）建立运动微分方程式分别以两物体的平衡位置为坐标原点，取两物体离开其平衡位置的距离x1、x2为广义坐标，两物体沿x方向的受力图...