5.1平面向量的概念及线性运算一、选择题1.已知两个非零向量a，b满足|a+b|=|ab|，则下面结论正确的是（）A.a∥bB.a⊥bC.{0,1,3}D.a+b=ab答案B2．对于非零向量a，b“，a＋b＝0”“是a∥b”的()．A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析若a＋b＝0，则a＝－b.∴a∥b；若a∥b，则a＝λb，a＋b＝0不一定成立．答案A3．设P是△ABC所在平面内的一点，BC＋BA＝2BP，则()．A.PA＋PB＝0B.PC＋PA＝0C.PB＋PC＝0D.PA＋PB＋PC＝0解析如图，根据向量加法的几何意义，BC＋BA＝2BP⇔P是AC的中点，∴PA＋PC＝0.答案B4．已知向量a＝(x,2)，b＝(3，－1)，若(a＋b)∥(a－2b)，则实数x的值为()A．－3B．2C．4D．－6解析因为(a＋b)∥(a－2b)，a＋b＝(x＋3,1)，a－2b＝(x－6,4)，∴4(x＋3)－(x－6)＝0，x＝－6.答案D5．在四边形ABCD中，AB＝a＋2b，BC＝－4a－b，CD＝－5a－3b，则四边形ABCD的形状是()．A．矩形B．平行四边形C．梯形D．以上都不对解析由已知AD＝AB＋BC＋CD＝－8a－2b＝2(－4a－b)＝2BC.∴AD∥BC，又AB与CD不平行，∴四边形ABCD是梯形．答案C6．已知△ABC和点M满足MA＋MB＋MC＝0，若存在实数m，使得AB＋AC＝mAM成立，则m＝()．A．2B．3C．4D．5解析 MA＋MB＋MC＝0，∴点M是△ABC的重心，∴AB＋AC＝3AM，∴m＝3.答案B7.已知点O为△ABC外接圆的圆心，且＋＋＝0，则△ABC的内角A等于()A．30°B．60°C．90°D．120°解析：由＋＋＝0得＋＝，由O为△ABC外接圆的圆心，结合向量加法的几何意义知四边形OACB为菱形，且∠CAO＝60°.答案：A二、填空题8.已知平面上不共线的四点O，A，B，C，若－3＋2＝0，则＝________.解析：由－3＋2＝0，得－＝2(－)，即＝2，于是＝2.答案：29．给出下列命题：①向量AB的长度与向量BA的长度相等；②向量a与b平行，则a与b的方向相同或相反；③两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同；④两个有公共终点的向量，一定是共线向量；⑤向量AB与向量CD是共线向量，则点A、B、C、D必在同一条直线上．其中不正确的个数为________．解析①中， 向量AB与BA为相反向量，∴它们的长度相等，此命题正确．②中若a或b为零向量，则满足a与b平行，但a与b的方向不一定相同或相反，∴此命题错误．③由相等向量的定义知，若两向量为相等向量，且起点相同，则其终点也必定相同，∴该命题正确．④由共线向量知，若两个向量仅有相同的终点，则不一定共线，∴该命题错误．⑤ 共线向量是方向相同或相反的向量，∴若AB与CD是共线向量，则A，B，C，D四点不一定在一条直线上，∴该命题错误．答案310.已知向量夹角为，且；则.解析答案11．若M为△ABC内一点，且满足AM＝AB＋AC，则△ABM与△ABC的面积之比为________．解析由题知B、M、C三点共线，设BM＝λBC，则：AM－AB＝λ(AC－AB)，∴AM＝(1－λ)AB＋λAC，∴λ＝，∴＝.答案12．若点O是△ABC所在平面内的一点，且满足|OB－OC|＝|OB＋OC－2OA|，则△ABC的形状为________．解析(等价转化法)OB＋OC－2OA＝OB－OA＋OC－OA＝AB＋AC，OB－OC＝CB＝AB－AC，∴|AB＋AC|＝|AB－AC|.故A，B，C为矩形的三个顶点，△ABC为直角三角形．答案直角三角形【点评】本题采用的是等价转化法，将△ABC的三个顶点转化到相应矩形中，从而判断三角形形状.本题也可用两边平方展开得出结论.三、解答题13．如图所示，△ABC中，AD＝AB，DE∥BC交AC于E，AM是BC边上的中线，交DE于N.设AB＝a，AC＝b，用a，b分别表示向量AE，BC，DE，DN，AM，AN.解析AE＝b，BC＝b－a，DE＝(b－a)，DN＝(b－a)，AM＝(a＋b)，AN＝(a＋b)．14．设a，b是两个不共线的非零向量，若a与b起点相同，t∈R，t为何值时，a，tb，(a＋b)三向量的终点在一条直线上？解析设a－tb＝λ(λ∈R)，化简整理得a＋b＝0， a与b不共线，∴由平面向量基本定理有∴故t＝时，a，tb，(a＋b)的终点在一条直线上．15．如图所示，在△ABC中，D、F分别是BC、AC的中点，＝，＝a，＝b.(1)用a，b表示向量、、、、；(2)求证：B、E、F三点共线．解析：(1)延长AD到G，使＝，连结BG、CG，得到▱ABGC，所以＝a＋b，＝＝(a＋b)，＝＝(a＋b)，＝＝b，＝－＝(a＋b)－a＝(b－2a)，＝－＝b－a＝(b－...
