有限元平面问题2VIP专享VIP免费

即：（由i,j,k轮换性知）同理可证：（作业：证明：）因此（2-12）即形函数在自己节点上为1，在其余节点上为0。2.在单元上任意一点，三个形函数之和为1，即。证明：（2-13）由此可见，三个形函数中只有2个是独立的，即第三个可由其余两个表示。3.ij边上的形函数与节点k的坐标无关（i，j,k轮换），即在ij边上有：（i，j,k轮换）（2-14）证明：设节点i坐标：,节点j坐标：。求：ij边的直线方程。在边上：由性质2：即在i,j边上有：（2-15）证毕。同理知：（轮换）在jk边上有：在ki边上有：几何表示：五、三角形单元位移函数的收敛性（要点提示：单元位移函数的三条收敛准则及意义）下面我们来验证所设的位移函数满足收敛准则（三条）。1、单元的位移函数解反映单元的刚体位移（包含有）由几何方程：寻找物体发生刚体位移的条件。若物体发生刚体位移，则有：由得：等式两侧分别为x和y的函数，要使其相等只有：积分：式中为积分常数故位移：即：（不难证明）以上两项是发生刚体位移的充要条件。因为这是的情形。故：事实上，将位移函数改变形式为：显然可看出：（其它系数意义后述）2、单元位移函数解反映单元的常应变由：可以得到：显然：由此看出，但单元的各应变均为常量。故三角形单元在位移函数：]下个典的各个应变量均为常量。故称为常应变单元。3、单元的位移函数在单元内部连续，在边界与相邻单元协调。显然，设是单元内部的连续函数。下面考察下边界上协调（一致）的问题。由形函数的第3条性质，我们证明：对于相邻的两个单元为公共边界。ij边上的N:分别写出两个单元在公共边上的位移表达式。对于单元，其位移函数为：（*）对于单元，其位移函数为：（**）Ij为单元，的公共边界。由形函数的性质3我们知道：仅与节点i有关。因此，对于：对于：与节点k,m无关，仅与i,j节点坐标及有关。--已知常数--节点位移唯一边界上x唯一确定u,v由和比较及和比较知：在公共边界上各点，ij上位移u,v是唯一的。由上知：三角形单元的位移函数满足收敛性条件。Note:用三角形单元计算则位移是连续的。而应力、应变是阶梯的。位移法（假设位移）的结果位移要好（比应力准确）。2-5三角形单元的刚度矩阵（单刚）提示：我们已经建立了三角形单元的位移函数；导出了三角形单元的形函数并用形函数来表示其位移函数；最后，我们证明了三角形单元位移函数的收敛性下面我们要推导三角形单元的单元刚度矩阵。在推导单刚前我们还有些准备工作要做。一、三角形单元的应变矩阵[B]将位移函数写出来：其中：把位移函数u,v代入几何方程：写成矩阵的形式就是：（单元上任一点的应变）（2-16）或（2-17）式中：（2-18）或分块：（2-19）式（2-16）表示单元节点位移与单元应变的关系。矩阵称为应变矩阵。式（2-18）表示应变矩阵为常数矩阵，再次证明三节点三角形单元为常应变单元。二、三角形单元的应力矩阵由物理方程知：用矩阵表示：（2-20）或缩写为：（2-21）其中：（2-22）称为弹性矩阵（仅与弹性常数有关）。把代入物理方程，得到：令（2-23）则有：（2-24）式（2-24）表示应力与节点位移的关系。由式（2-23）给出，称为三角形单元的应力矩阵。显然，弹性矩阵及应变矩阵都是常量矩阵。故应力矩阵也是一个常量矩阵。因此三节点三角形单元的应变和应力都是常量。三、三角形单元的单刚建立了应力与节点位移的关系式（2-24），我们就可以推导单刚了。我们用虚功原理来推导。一般来说，有限元的单刚最普通的方法是用变分原理来推导。求泛函的变分（functional泛函的函数）。（在力学上就是最小泛解的变分原理）。由于我们尚未解除变分原理且对于弹力问题，用虚功原理推导就可以了。有人证明了用虚功原理推导和用最小泛解的变分原理来推导单刚，对于弹性力学的问题结果是一致的。下面我们用虚功原理来推导三节点三角形单元的单刚。1.单刚的推导（单元是平衡的：对其应用虚功原理）如图所示，三角形单元的节点位移和节点力为：节点位移：节点力：给定一组虚位移：（每个单元都可能有虚位移）（虚位移是人为假设的任意位移，其唯一的条件就是约束所允许）产生虚应变：则单元的外虚功为：（节点力）单元的内力虚功为：由虚功...