(有答案)常微分方程模拟题(浙江师范大学)VIP免费

浙江师范大学数理与信息工程学院模拟试题1一、填空题:(每小题2分,共8分)1.方程()()0dypxyQxdx的通解是①;2.(,)(,)0MxydxNxydy是全微分方程(恰当方程)的充要条件②;3.方程432432250dydydydtdtdt的通解是③;4.方程''2'xyyyxe的特解可设为④.参考答案o1.()()[()]PxdxPxdxyeQxedxC2.MNyxo3.1234cos2sin2ttyCCtCetCet4.2()xyxAxBe二、是非判断题:(每小题2分,共12分)1.如果()()Xtit是微分方程组()()dXAtXbtdt的复值解(这里()t、()t、()bt都是实向量函数,()At是实矩阵函数),那么()Xt是微分方程组()()dXAtXbtdt的解;2.方程2220dyaydx(a是实数)的通解是12cos()sin()yCxCx;3.如果存在定负函数V(X),使得V通过方程组()dXfXdt其中()0fX）的全导数dtdV定正,那么这个方程组的零解渐近稳定;4.方程''()'()()yaxybxycx(其中a(x),b(x),c(x)连续)可以有三个线性无关的解;5.如果()t、()t均为方程组()dXAtXdt的基解矩阵,那么必存在可逆常数矩阵C使得()()ttC成立;6.方程dxdy=2y满足初始条件:x=0时y=0的解只有y=0.参考答案o1.×,2.×,3.√,4.√,5.√,6.×.三、(24分)求解下列各方程:浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学数理与信息工程学院1．dxdy=yxxyy321;2.dxdy=331yxxy;3.xydyyedxx;4.220dydyxyxdxdx.参考答案o1.dxdy=yxxyy321221(1)ydydxyxx22222()()1(1)dydxyxx2221log(1)logxxyC221211xyCx通解为2221(1)(1)yxCx或者写成2222xyxyC;o2.dxdy=331yxxydxdy=33xyxy3dxxdy=23xyy2()dxdy=2322xyy2232[2]ydyydyxeyedyC=223[2]yyeyedyC=222[(1)]yyeyeC,即,通解为222(1)yxyCe;o3.xydyyedxx,设xyu,则''uyxy=()uyyxex=uxe,所以ueduxdx22uxeC,即得通解22xyxeC;o4.x(dxdy)2-2y(dxdy)+x=0,设dxdyp,则1()22pyxp,两边关于x求导得2111()'2222ppxppp210p或'xpp.由'xpp得pCx,所以通解是2122CyxC,由1p得奇解px.四、(20分)求下列各方程的通解:浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学数理与信息工程学院1.'''28sin2xxxt;2.2''4'60txtxx.参考答案o1.'''20xxx的通解是212ttxCeCe,设原方程的特解是sincosxAtBt,将sincosxAtBt代入原方程得(62)sin(26)8sin2ABtABt,所以有628260ABAB6525AB,所以原方程的通解是21262sincos55ttxCeCett;注:如果用常数变易法或利用辅助方程2'''28itxxxe求解,则参照此解法给分.o2.2''4'60txtxx设tes则原方程化为(1)460DDxDxx,(其中dDds),即2560DxDxx,此方程通解是2312ssxCeCe,所以原方程的通解是2312xCtCt.五、(14分)解方程组:zxdtdzyxdtdyzydtdx参考答案o由11110101AE=0得2(1)0,所以，特征值是12,30,1.浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学数理与信息工程学院对于2,31，设()()()tttxAtBeyCtDezEtFe(6分)代入方程组可得ACEABDFCACCDBDEAEEFBF0ABCEBDF记1BCEC,2DC,则1121210,,,,,ABCCCDCECFCC.对于10,可求得一特征向量111.因此,原方程的通解是131231213()()tttxCeCyCtCeCzCtCCeC,或者写成12310111111ttxyCteCeCzt.六、(12分)已知微分方程'()yygx,其中g(x)=.1,010,2时当时，当xx试求一连续函数y=y(x),满足条件y(0)=0,且在区间(0,1),(1,)内满足上述方程.参考答案o1.当(0,1)x时,'2yy...