奥赛园地试看将来的环球,必是赤旗的世界!———李大钊【例１】(第２５届全国初中数学联合竞赛试题第二试(B))若直线y＝b(b为实数)与函数y＝|x２－４x＋３|的图象至少有三个公共点,则实数b的取值范围是．【分析】y＝x２－４x＋３＝(x－２)２－１,此函数的大致图象如图(１)所示,因此函数y＝|x２－４x＋３|的图象如图(２)所示,而当b取遍所有实数时,y＝b表示所有与y轴垂直的直线,结合条件,易知b的取值范围为０＜b≤１．【解答】０＜b≤１．【例２】(第２６届全国初中数学江西赛区预赛试题(九年级))函数y＝x２＋(２k－１)x＋k２的图象与x轴的两个交点是否都在直线x＝１的右侧?若是,请说明理由;若不一定,请求出两个交点都在直线x＝１的右侧时k的取值范围．【解答】不一定,例如,当k＝０时,函数的图象与x轴的交点为(０,０)和(１,０),不都在直线x＝１的右侧．设函数与x轴的两个交点的横坐标为x１,x２,则x１＋x２＝－(２k－１),x１x２＝k２,当且仅当满足条件Δ≥０,(x１－１)＋(x２－１)＞０,(x１－１)(x２－１)＞０{时,抛物线与x轴的两交点都在直线x＝１的右侧．由(２k－１)２－４k２≥０,－２k－１＞０,k２＋２k＞０,{解得k≤１４,k＜－１２,k＜－２或k＞０．ìîíïïïïï因此,当k＜－２时,抛物线与x轴的两个交点在直线x＝１的右侧．【例３】(第２６届全国初中数学江西赛区预赛试题(九年级))在平面直角坐标系xOy中,我们把横坐标为整数、纵坐标为完全平方数的点称为“好点”,求二次函数y＝(x－９０)２－４９０７的图象上的所有“好点”的坐标．【解答】设y＝m２,(x－９０)２＝k２,m,k都是非负整数,则k２－m２＝７×７０１＝１×４９０７．即(k－m)(k＋m)＝７×７０１＝１×４９０７．故k＋m＝７０１,k－m＝７{或k＋m＝４９０７,k－m＝１．{解得k＝３５４,m＝３４７{或k＝２４５４,m＝２４５３．{∴x１＝４４４,y１＝１２０４０９;{x２＝－２６４,y２＝１２０４０９,{x３＝２５４４,y３＝６０１７２０９;{x４＝－２３６４,y４＝６０１７２０９．{故“好点”共有４个,它们的坐标是:(４４４,１２０４０９),(－２６４,１２０４０９),(２５４４,６０１７２０９),(－２３６４,６０１７２０９)．初赛题１．若实数x,y满足条件２x２－６x＋y２＝０,则x２＋y２＋２x的最大值是()．A．１４B．１５C．１６D．无法确定２．已知抛物线y＝x２＋kx＋４和x轴有两个不同的交点(x１,０),(x２,０),则下列结论中一定成立的是()．A．x２１＋x２２＝１７B．x２１＋x２２＝８C．x２１＋x２２＞８D．x２１＋x２２＜１７３．已知二次函数y＝ax２＋bx＋c的图象如图所示,并设M＝|a＋b＋c|－|a－b＋c|＋|２a＋b|－|２a－b|,则()．(第３题)A．M＞０B．M＝０C．M＜０D．不能确定M为正、负或为０４．抛物线y＝ax２＋bx＋c(a≠０)的顶点坐标是(－２,－１),与x轴有两个交点且交点间的距离是２,则这个抛物线的解析式为y＝．５．已知a,b,c满足下列表格中的条件:x０１２ax２１ax２＋bx＋c５１那么,抛物线y＝ax２＋bx＋c的对称轴和顶点坐标分别为．６．(２０１１全国数学竞赛)设a＝７－１则代数式a２＋２a－１２的值为．知识是一种快乐,而好奇则是知识的萌芽.———培根７．(江苏省第２０届初中数学竞赛第１试)将长为１５６cm的铁线剪成两段,每段都围成一个边长为整数(cm)的正方形,求这两个正方形面积和的最小值．复赛题８．(１)证明:若当x取任意整数时,二次函数y＝ax２＋bx＋c总取整数值,则２a,a－b,c都是整数;(２)写出上述命题的逆命题,判断其真假,并证明你的结论．９．(第２６届全国初中数学竞赛(浙江赛区)复赛试题)在正三角形ABC中,AB＝a,点P、Q分别从A、C两点同时出发,以相同的速度作直线运动,且点P沿射线AB方向运动,点Q沿射线BC方向运动．设AP的长为x,△PCQ的面积为S．(１)求S关于x的函数关系式;(２)当AP的长为多少时,△PCQ的面积和△ABC的面积相等?奥数园地１．B提示:由条件得y２＝－２x２＋６x,故x２＋y２＋２x＝x２－２x２＋６x＋２x＝－x２＋８x＝－(x－４)２＋１６． y２≥０,∴－２x２＋６x≥０,解得０≤x≤３．∴最大值为－(３－４)２＋１６＝１５．２．C提示: x１x２＝４,抛物线与x轴有两个交点,∴Δ＞０,即...
