31.2锐角三角函数值的求法一、知识概述(一)锐角的三角函数的意义1、正切的概念在Rt△ABC中，∠C=90°，我们把锐角A的对边与邻边的比，叫做∠A的正切，记作tanA．2、正弦和余弦的概念如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA，即3、三角函数的概念：在直角三角形中，锐角A的正切(tanA)、正弦(sinA)、余弦(cosA)，都叫做∠A的三角函数．(二)同角的三角函数之间的关系(1)平方关系：sin2α＋cos2α=1(2)商数关系：（三）互余的两角的关系任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值，任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值，任意锐角的正切值与它的余角的正切值的积等于1．即若A+B=90°，则sinA=cosB，cosA=sinB，tanA·tanB=1．(四)特殊锐角的三角函数值0°30°45°60°90°sinA0[1cosA10tanA01—(五)锐角三角函数值的求法1、用计算器求三角函数值求整数度数的锐角三角函数值．在计算器的面板上涉及三角函数的键有和键，当我们计算整数度数的某三角函数值时，可先按这三个键之一，然后再从高位向低位按出表示度数的整数，然后按，则屏幕上就会显示出结果．例如：计算sin44°．解：按键，再依次按键．则屏幕上显示结果为0.69465837．求非整数度数的锐角三角函数值．若度数的单位是用度、分、秒表示的，在用计算器计算三角函数值时，同样先按和三个键之一，然后再依次按度分秒键，然后按键，则屏幕上就会显示出结果．2、已知三角函数值，用计算器求角度已知三角函数值求角度，要用到、键的第二功能“sin－1，cos－1，tan－1”和键．具体操作步骤是：先按键，再按键之一，再依次按三角函数值，最后按键，则屏幕上就会显示出结果．值得注意的是型号不同的计算器的用法可能不同．二、重点难点疑点突破1、（1）sinA和cosA都是一个整体符号，不能看成sin·A或cos·A．(2)是一个比值，没有单位，只与角的大小有关，而与三角形的大小无关．(3)sinA＋sinB≠sin(A＋B)sinA·sinB≠sin(AB)(4)sin2A表示(sinA)2，cos2A=(cosA)2(5)0＜sinA＜1，0＜cosA＜12、同名三角函数值的变化规律当角α在0°～90°间变化时，它的正切和正弦三角函数值随着角度的增大而增大；余弦三角函数值随着角度的增大而减少．三、解题方法技巧点拨1、求锐角三角函数的值例1、(1)在Rt△ABC中，∠C=90°，若，求cosB，tanB的值．分析：本题主要考查锐角三角函数的定义，结合图形求解可化繁为简，迅速得解．解：如图，设BC=3m，则AB=5m，(2)如图所示，已知AB是⊙O的直径，CD是弦，且CD⊥AB，BC=6，AC=8，则sin∠ABD的值是（）分析：因为AB是⊙O的直径，所以∠ACB=90°．因为BC=6，AC=8，所以AB=10．因为∠ABD=∠ACD=∠ABC，所以在Rt△ACB中，故正确答案为D．答案：D分析：(1)要求sinα与cosα的关系的值，而已知tanα的值，故可通过来求值．(2)已知tanα的值，也可通过，把要求的式子的分子，分母同时除以cos2α转化成关于tanα的关系，这样便可求出结论．点评：在进行三角函数有关计算时，常利用有关公式进行变换．2、化简计算例3、计算分析：这是一组有关特殊角三角函数值的计算题，计算中最关键是将它们先化成具体的数值，同时还要应用其它一些知识帮助求值，如(1)注意分母有理化，(2)应掌握整数指数幂的意义．解：点评：学过锐角三角函数后，特殊角的三角函数的计算是常考不衰的内容，做这类题主要分两步：(一)代入；(二)计算．因此，特殊角的三角函数值必须牢记3、三角函数的增减性例4、若α为锐角且sinα＞sinβ，那么（）A．tanα＞tanβB．tanα＜tanβC．tanα=tanβD．tanα、tanβ大小关系不确定4、已知三角函数值求角对于非特殊角可用计算器求角，若是特殊角的三角函数值则可以直接得角度．例如：已知cosα=0.5237，求锐角α．解：按键，再依次按键．则屏幕上显示结果为58.41923095．例5、求适合下列各式的锐角α．点拨：所有锐角三角函数值都是正数，而且正弦和余弦值都不大于1，不符合条件的三角函数值应舍去．5、求线段长与面积例6、如图，在△ABC中，∠A=30°，∠B=45°，AC=4，求BC的长．分析：题中有30°，45°特殊角，想把...
