中考数学专题复习：几何型综合题【典型考题例析】例1：如图2-4-27，四边形ABCD是正方形，△ECF是等腰直角三角形，其中CE=CF，G是CD与EF的交点．（1）求证：△BCF≌△DCE．（2）若BC=5，CF=3，∠BFC=900，求DG：GC的值．（2005年吉林省中考题）分析与解答（1） 四边形ABCD是正方形，∴∠BCF+∠FCD=900，BC=CD． △ECF是等腰直角三角形，CF=CE．∴∠ECD+∠FCD=900．∴∠BCF=∠ECD．∴△BCF≌△DCE（2）在△BFC中，BC=5，CF=3，∠BFC=900．∴BF=． △BCF≌△DCE，∴DE=BF=4，∠BFC=∠DEC=∠FCE=900．∴DE∥FC．∴△DGE∽△CGF．∴DG：GC=DE：CF=4：3．例2：已知如图2-4-28，BE是⊙O的走私过圆上一点作⊙O的切线交EB的延长线于P．过E点作ED∥AP交⊙O于D，连结DB并延长交PA于C，连结AB、AD．（1）求证：．（2）若PA=10，PB=5，求AB和CD的长．（2005年湖北省江汉油田中考题）分析与解答（1）证明： PA是⊙O的切线，∴∠1=∠2． ED∥AP，∴∠P=∠PED．而∠3=∠BED，∴∠3=∠P．∴△ABD∽△PBA．∴．（2）连结OA、AE．由切割线定理得，．即，∴BE=15．又∴△PAE∽△PBA，∴，即AE=2AB．在Rt△EBA中，，图2-4-28C321OEPBA图2-4-27GFEDCBA∴．将AB、PB代入，得BD=9．又 ∠BDE=900，ED∥AP，∴DC⊥PA．∴BC∥OA．∴．∴．∴CD=12例2：如图2-4-29，⊙和⊙相交于A、B两点，圆心在⊙上，连心线与⊙交于点C、D，与⊙交于点E，与AB交于点H，连结AE．（1）求证：AE为⊙的切线．（2）若⊙的半径r=1，⊙的半径，求公共弦AB的长．（3）取HB的中点F，连结F，并延长与⊙相交于点G，连结EG，求EG的长（2005年广西壮族自治区桂林市中考题）分析与解答（1）连结A． E为⊙的直径，∴∠AE=900．又 A为⊙的半径，∴AE为⊙的切线．（2） A=r=1，E=2R=3，△AE为Rt△，AB⊥E，∴△AE∽△HA．∴．∴．．（3） F为HB的中点，∴HF=，O2O1HGFEDBCA图2-4-28∴． ．∴Rt△∽Rt△．∴．∴，即．例4如图2-4-30，A为⊙O的弦EF上的一点，OB是和这条弦垂直的半径，垂足为H,BA的延长线交⊙O于点C，过点C作⊙O的切线与EF的延长线交于点D．（1）求证：DA=DC（2）当DF：EF=1：8且DF=时，求的值．（3）将图2-4-30中的EF所在的直线往上平移到⊙O外，如图2-4-31，使EF与OB的延长线交⊙O于点C，过点C作⊙O的切线交EF于点D．试猜想DA=DC是否仍然成立，并证明你的结论．（2005年山东省菏泽市中考题）分析与解答（1）连结OC，则OC⊥DC，∴∠DCA=900-∠ACO=900-∠B．又∠DAC=∠BAE=900-∠B，∴∠DAC=∠DCA．∴DA=DC．（2） DF：EF=1：8，，∴EF=8DF=，又DC为⊙O的切线，∴．∴．图2-4-30HFEDOCBAK图2-4-30HFEDOCBA∴，，．∴．（3）结论DA=DC仍然成立．理由如下：如图2-4-31，延长BO交⊙O于K，连结CK，则∠KCB=900．又DC是⊙O的切线，∴∠DCA=∠CKB=900-∠CBK．又∠CBK=∠HBA，∴∠BAH=900-∠HBA=900-∠CBK．∴∠DCA=∠BAH．∴DA=DC．说明：本题是融几何证明、计算和开放探索于一体的综合题，是近几年中考的热点题目型，同学们复习时要引起注意．【提高训练】1．如图2-4-32，已知在△ABC中，AB=AC，D、E分别是AB和BC上的点，连结DE并延长与AC的延长线相交于点F．若DE=EF，求证：BD=CF．2．点O是△ABC所在平面内一动点，连结OB、OC，并将AB、OB、OC、AC的中点D、E、F、G依次连结，如果DEFG能构成四边形．（1）如图2-4-33，当O点在△ABC内时，求证四边形DEFG是平行四边形．（2）当点O移动到△ABC外时，（1）中的结论是否成立？画出图形，并说明理由．（3）若四边形DEFG为矩形，O点所在位置应满足什么条件？试说明理由．3．如图2-4-35，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，∠DBC=450．翻折梯形ABCD，使点B重合于点D，折痕分别交边AB、BC于点F、E．若AD=2，BC=8，求：（1）BE的长．（2）∠CDE的正切值．图2-4-32FEDCBA图2-4-33OGFEDCBA图2-4-34FEDCBA4．如图2-4-35，四边形ABCD内接于⊙O，已知直径AD=2，∠ABC=1200，∠ACB=450，连结OB交AC于点E．（1）求AC的长．（2）求CE：AE的值．（3）在CB的延长上取一点P，使PB=2BC，试判断直线PA和⊙O的位置关系，并加以证明你的结论．5．如图2-4-36，已知AB是⊙O的直径，BC、CD分别是⊙O的切线，切点...
