九年级数学上册第三章第3-4节圆心角;圆周角(一)浙江版【本讲教育信息】一.教学内容:圆的基础(二)二.知识要点:1、圆的对称性质:圆是轴对称图形,也是中心对称图形。过圆心的任意一条直线都是圆的对称轴;圆心是对称中心。2、弦与直径垂直的性质定理:垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧规律:一条直线如果具有①经过圆心;②垂直于弦;③平分弦;④平分弦所对的劣弧;⑤平分弦所对的优弧,这五个性质中的任意两个,则必定具有其余的三个性质。(注:此规律中要注意①和③中应除去弦为直径这种情况)3、圆的直径所对的圆周角是直角;圆周角是直角,则它所对的弦是圆的直径。【典型例题】例1、如图,ABCD是直角梯形,AD//BC,∠C=∠D=90°,以斜腰AB为直径作半圆,交腰CD于E、F,交BC于G。求证:①DE=CF②解析:①根据已知条件,可联想“弦与直径垂直的性质”。比如,过O作OH⊥CD于H,则EH=FH,而要证明DE=CF,只需证明DH=CH即可。对于②,可联想圆的重要性质:“圆中两条平行的弦,所夹的弧相等”所以,连结AG,看看能否证明AG//CD过O作OH⊥CD于H,则∵OH⊥CD,∴H为CD中点∴DH=CH,又EH=FH,∴DH-EH=CH-FH∴DE=CF又连结AG,∵AB为圆O的直径,∴∠AGB=90°∴∠C=90°,∴AG//CD,∴。注:一般地,①已知圆的弦,常可作该弦的弦心距来进一步研究。②已知圆的直径,常可联想直径所对的圆周角为直角。③在圆的题中,证明角、线段、弧相等的基本方法是:证明圆心角、弧、弦和弦心距这四组几何量中的任一组量相等,从而转化为证明其余的三组几何量之一相等。例2、如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6,BC=8,以C为圆心,CA为半径作圆交AB于D。求AD的长。解析:由于AD是圆C的弦,故而可联想“垂直于弦的直径”又由“垂直”去联想三角形的面积。过C作CE⊥AD于E∵Rt△ABC中,AC=6,BC=8,∴由勾股定理,得AB=10,∴Rt△CAE中,由勾股定理,求得,注意到CE所在的直线为圆C的直径所在的直线∴根据“垂直于弦的直径平分弦”知:。例3、如图,△ABC中,∠A=70°,圆O截△ABC的三边所得的弦长相等,求∠BOC的度数。解析:由弦的相等可得知“弦所对的弦心距相等”。过点O作OM⊥AB,ON⊥BC,OP⊥AC,垂足为M、N、P∵圆O截△ABC的三条边所得的弦长相等。∴OM=ON=OP∴OB平分∠ABC,OC平分∠ACB∴∠OBC=∠ABC,∠OCB=∠ACB又∠A=70°,∴∠ABC+∠ACB=110°∴∠BOC=180°(∠ABC+∠ACB)=125°例4、如图,半径为5cm的圆内有两条互相平行的弦,一条弦长为8cm,另一条长6cm,求这两条弦之间的距离。解析:求解此题要注意,①两条弦之间的距离即为两条弦的弦心距之和。②两条平行弦有两种不同的位置关系。过点O作ON⊥AB于点N,则讨论如下:(1)当AB、CD在点O的同侧时:∵AB//CD,∴OM⊥CD又ON⊥AB,∵OB=5cm,∴ON=3cm同理,得OM=4cm,∴NM=MO-NO=1(cm)(2)当AB、CD在点O的两侧时,同理可求得NM=OM+ON=7(cm)∴两弦之间的距离为1cm或7cm。【模拟试题】(答题时间:30分钟)1、已知圆O的半径OA=1,弦AB、AC的长分别为,则∠BAC的度数为_________。2、圆O的直径AB=4,C在圆O上,∠BAC=30°,则弦AC的长为_________。3、圆O中,弦AB、CD互相垂直于点H,AH=4,BH=6,CH=3,DH=8,求圆O的半径。4、圆O的直径AB与弦CD相交于点E,已知AE=1,BE=5,∠DEB=60°,求CD的长。5、下列判断正确的是()①平分弦的直径垂直于弦②平分弦的直线也平分弦所对的两条弧③弦的中垂线必定平分弦所对的两条弧④平分一条弧的直线必定平分这条弧所对的弦6、如图,圆O中弦AB=8,半径OA=5,C是的中点,求AC的长。7、点O在∠CAE的平分线上,以O为圆心的圆分别交∠CAE的两边于点B、C、D、E。求证:AB=AD。8、AB为圆O的直径,C在圆O上,∠ABC的平分线交圆O于D,交CA于E,已知BC=6,AC=8,求CD的长。9、AB为圆O的直径,割线l交圆O于M、N,AC⊥l,且交圆O于E,BD⊥l于D,若AB=10,AC=7,BD=1,求OC的长。10、圆O中,AB是直径,CD是弦,AF⊥CD于F,BE⊥CD于E(1)求证:CE=DF(2)若AF=32,BE=8,求点O到CD的距离。【试题答案】1、15°或75°提示:分弦AB、AC在OA的同侧或异侧两种情况求解。2、3、4、5、③6、7、提示:作OM⊥BC于M,ON⊥AE于N,证明CA=EA,CB=DE8、9、提示:连EB,且过点O作OP⊥CD于P,连OC在Rt△OPC中,用勾股定理求解即可。10、(1)提示:过O作CD的垂线,垂足为G,证明G为EF中点(2)12.提示:连结BF交OG的延长线于H,则H为BF的中点。