高二数学（文）直线与圆的位置关系（一）（文）人教实验版（A）【本讲教育信息】一.教学内容：直线与圆的位置关系（一）二.重点、难点：1.圆周角定理2.圆心角定理3.圆的内接四边形的对角互补4.圆的内接四边形的外角等于它的内角的对角5.圆内接四边形判定定理6.切线的判定定理7.切线的性质定理8.弦切角定理【典型例题】[例1]如图，OA、OB、OC都是⊙O的半径，∠AOB=2∠BOC，求证：∠ACB=2∠BAC。证明：[例2]如图，已知：AB是⊙O的直径，CD是弦，AF⊥CD于F，BE⊥CD于E，连结OE、OF。求证：OE=OF及CE=DF。证明：延长EO交AF于N点 BE⊥CD，AF⊥CD∴EB//AF∴B=A在△BEO与△ANO中，BO=AO∠B=∠A，∠BOE=∠AON∴EO=NO∴OF=EO=NO过O作OM⊥CD于M∴CM=DMEM=MF∴CE=DF用心爱心专心[例3]已知：如图所示，AB是⊙O的直径，M是AB上一点，过M作弦CD且MC=MO，求证：。证明：连结CO且延长交⊙O于E点 MC=MO∴∠MCO=∠MOC ∠EOB=∠MOC∴∠MCO=∠EOB∴ ∠MCO是圆周角∴∴[例4]已知：如图AB是直径，C是的中点，CD⊥AB于D交AE于F，求证：CF=AF。证明：连结AC，CB C是AE的中点∴∠B=∠CAE AB是直径∴∠ACB=90° CD⊥AB∴∠ACD=∠B∴∠ACD=∠CAF∴CF=AF[例5]已知：△ABC内接于⊙O，弦AB的垂直平分线和CA及BC的延长线分别交于点D及E，交⊙O于F两点，求证：ED·DO=AD·DC。证明：延长AO交⊙O于M点，连结CM AM是⊙O的直径∴∠ACM=90°又EH⊥AB∴∠EHB=90° ∠AMC=∠ABC∴∠CAM=∠E又∠ADO=∠CDE∴△ADO∽△CDE∴∴ED·DO=AD·DC[例6]如图，⊙O1与⊙O2都经过A、B两点，经过点A的直线CD与⊙O1交于点C，与⊙O2交于点D；经过点B的直线EF与⊙O1交于点E，与⊙O2交于点F，求证：CE//DF。用心爱心专心证明：连结AB ABEC是⊙O1的内接四边形∴∠BAD=∠E又 ADFB是⊙O2的内接四边形∴∠BAD+∠F=180°∴∠E+∠F=180°∴CE//DF[例7]四边形ABCD内接于⊙O，对角线是直径，AC与BD相交于点E，BO⊥AD于H，AD=OA=2。求：（1）∠ABD和∠BEC的度数；（2）OE：EC；（3）四边形ABCD的面积。证明：（1） BO⊥AC∴AH=HD∴AD=OA=2∴AH=1∴∠OAH=60° AC是⊙O直径∴∠ADC=90°∴∠ACD=90°－∠OAH=90°－60°=30° ∠ABD=∠ACD∴∠ABD=30° BH是AD的垂直平分线∴BA=BD∴∠BDA=∠BAD=在Rt△ADE中，AED=180°－（EAD+EDA）=180°－（60°+75°）=45°∴BEC=AED=45°（2）在Rt△ADC中，DC= AD⊥DC，AH⊥BH∴BH//DC∴∴OE：EC=1：（3）在中，AH=HDAO=OC∴作BF⊥DC交DC的延长线于F，则四边形DHBF是矩形∴BF=HD=1∴∴用心爱心专心[例8]已知点A、B、C、D顺次在⊙O上，，BM垂直于AC，垂足为M，证明：AM=DC+CM。证明：延长DC至N，使CN=CM，连结BN由∠BAD+∠BCD=180°∠BCN+∠BCD=180°知∠BAD=∠BCN由知∠BAD=∠BCAAB=BD∴∠BCM=∠BCN而BC=BC，CM=CN，BM⊥AC∠BMC=90°∴△BCM≌△BCNBM=BN，∠BNC=∠BMC=90°在Rt△ABM与Rt△DBN中，AB=BD，BM=BN，∠BMA=∠BNC=90°∴Rt△ABM≌Rt△DBNAM=DN∴AM=DC+CM[例9]已知弦CD垂直于圆O的直径AB，L为垂足，弦AE平分半径OC于H，求证：弦DE平分弦BC于M。证明：连结BD，由∴∠BAE=∠BDE由直径AB⊥CD知BC=BD∠DBC=2∠CBA又∠AOC=2∠ABC故∠AOH=∠DBM∴△AOH∽△DBM，而∴即DE平分BC[例10]如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过C点的切线互相垂直，垂足为D，求证：AC平分∠DAB。分析：CD是⊙O的切线，连结OC，则OC⊥CD，连结圆心与切点是作辅助线常用的方法用心爱心专心之一。证明：连结OC∴AC平分∠DAB[例11]AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，切点为B，OC平行于AD，求证：DC是⊙O的切线。分析：切线要满足：（1）过半径外端；（2）与半径垂直，而直线CD过半径OD的外端，故关键在于证明CD与OD的垂直关系，利用三角形全等可以证明∠ODC=90°。证明：连结OD OA=OD∴∠1=∠2 AD//OC∴∠2=∠4∠1=∠3∴∠3=∠4∴OB=OD∠3=∠4OC=OC∴△OBC≌△ODC∴∠OBC=∠ODC BC是⊙O的切线∴∠OBC=90°∴∠ODC=90°∴DC是⊙O的切线[例12]如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB和CD相等，且AB与小圆相切于点E，求证：CD与小圆相切。证明：连结OE，过O作OF⊥CD，垂足为F，AB与小圆O切于点E∴OE⊥AB OF⊥CDAB=CD...
