【高考新坐标】2016届高考数学总复习第四章第4节平面向量应用举例课后作业[A级基础达标练]一、选择题1．在△ABC中，(BC＋BA)·AC＝|AC|2，则△ABC的形状一定是()A．等边三角形B．等腰三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形[解析]由(BC＋BA)·AC＝|AC|2，得AC·(BC＋BA－AC)＝0，即AC·(BC＋BA＋CA)＝0，2AC·BA＝0，∴AC⊥BA，∴A＝90°.又根据已知条件不能得到|AB|＝|AC|，故△ABC一定是直角三角形．[答案]C2．(2015·临沂调研)已知点A(－2，0)，B(0，0)，动点P(x，y)满足PA·PB＝x2，则点P的轨迹是()A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线[解析]PA＝(－2－x，－y)，PB＝(－x，－y)，则PA·PB＝(－2－x)(－x)＋y2＝x2，∴y2＝－2x.[答案]D3．已知a＝(1，sin2x)，b＝(2，sin2x)，其中x∈(0，π)．若|a·b|＝|a||b|，则tanx的值等于()A．1B．－1C.D.[解析]由|a·b|＝|a||b|知，a∥b.所以sin2x＝2sin2x，即2sinxcosx＝2sin2x，且x∈(0，π)，所以sinx＝cosx，即x＝，故tanx＝1.[答案]A4．若函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜)在一个周期内的图象如图442所示，M，N分图442别是这段图象的最高点和最低点，且OM·ON＝0(O为坐标原点)，则A等于()A.B.πC.πD.π[解析] ＝－＝，∴T＝π，∴M，N，即，又OM·ON＝×＋A·(－A)＝0，∴A＝π.[答案]B5．(2015·济南质检)在四边形ABCD中，AC＝(1，2)，BD＝(－4，2)，则该四边形的面积为()A.B．2C．5D．10[解析] AC·BD＝(1，2)·(－4，2)＝－4＋4＝0，∴AC⊥BD，则AC⊥BD，四边形ABCD的对角线垂直，又|AC|＝＝，|BD|＝＝2.∴S四边形ABCD＝|AC|·|BD|＝××2＝5.[答案]C二、填空题6．在平面直角坐标系xOy中，已知OA＝(－1，t)，OB＝(2，2)．若∠ABO＝90°，则实数t的值为________．[解析] ∠ABO＝90°，∴AB⊥OB，∴OB·AB＝0.又AB＝OB－OA＝(2，2)－(－1，t)＝(3，2－t)，∴(2，2)·(3，2－t)＝6＋2(2－t)＝0.∴t＝5.[答案]57．(2015·青岛调研)在△ABC中，AB＝2，AC＝3，AB·BC＝1，则BC＝________．[解析] AC＝BC－BA，且AC＝3，∴AC2＝(BC－BA)2＝BC2＋BA2－2BC·BA，又AB＝2，且AB·BC＝1∴9＝|BC|2＋4＋2，|BC|2＝3，|BC|＝.[答案]8．已知直线x＋y＝a与圆x2＋y2＝4交于A，B两点，且|OA＋OB|＝|OA－OB|，其中O为原点，则正实数a的值为________．[解析]由|OA＋OB|＝|OA－OB|，知OA⊥OB，∴|AB|＝2，则得点O到AB的距离d＝，∴＝，解得a＝2(a>0)．[答案]2三、解答题9．(2015·山东师大模拟)如图443所示，点A，B是单位圆上的动点，C是单位圆与x轴的正半轴的交点，且∠AOB＝，记∠COA＝θ，θ∈(0，π)，△AOC的面积为S.(1)若f(θ)＝OB·OC＋2S，试求f(θ)的最大值以及此时θ的值；(2)当A点坐标为时，求|BC|2的值．[解](1)由题意得S＝sinθ，OB＝，OC＝(1，0)，∴f(θ)＝OB·OC＋2S＝cos＋sinθ＝sin. θ∈(0，π)，故θ＝时，f(θ)max＝1.(2)依题意得cosθ＝－，sinθ＝，在△BOC中，∠BOC＝θ＋，由余弦定理，|BC|2＝1＋1－2×1×1×cos＝2－cosθ＋sinθ＝.10．(2015·潍坊模拟)在平面直角坐标系xOy中，直线l与抛物线y2＝4x相交于不同的A，B两点．(1)如果直线l过抛物线的焦点，求OA·OB的值；(2)如果OA·OB＝－4，证明直线l必过一定点，并求出该定点．[解](1)由题意：抛物线焦点为(1，0)，设l：x＝ty＋1，代入抛物线y2＝4x，图443消去x得y2－4ty－4＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝4t，y1y2＝－4，∴OA·OB＝x1x2＋y1y2＝(ty1＋1)(ty2＋1)＋y1y2＝t2y1y2＋t(y1＋y2)＋1＋y1y2＝－4t2＋4t2＋1－4＝－3.(2)证明：设l：x＝ty＋b代入抛物线y2＝4x，消去x得y2－4ty－4b＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝4t，y1y2＝－4b，∴OA·OB＝x1x2＋y1y2＝(ty1＋b)(ty2＋b)＋y1y2＝t2y1y2＋bt(y1＋y2)＋b2＋y1y2＝－4bt2＋4bt2＋b2－4b＝b2－4b.令b2－4b＝－4，∴b2－4b＋4＝0，∴b＝2.∴直线l过定点(2，0)．∴若OA·OB＝－4，则直线l必过一定点(2，0)．[B级能力提升练]1．(2013·重庆高考改编)在平面上，AB1⊥AB2，|OB1|＝|OB2|＝1，AP＝AB1＋AB2.若|OP|<，则|OA|的最大值是()A.B.C.D.[解析]由题意，点B1，B2在以O为圆心的单位圆上，点...
