课时作业31数列求和1．(2017·北京卷)已知等差数列{an}和等比数列{bn}满足a1＝b1＝1，a2＋a4＝10，b2b4＝a5.(1)求{an}的通项公式；(2)求和：b1＋b3＋b5＋…＋b2n－1.解析：(1)设等差数列{an}的公差为d.因为a2＋a4＝10，所以2a1＋4d＝10，解得d＝2，所以an＝2n－1.(2)设等比数列{bn}的公比为q，因为b2b4＝a5，所以b1qb1q3＝9，解得q2＝3，所以b2n－1＝b1q2n－2＝3n－1.从而b1＋b3＋b5＋…＋b2n－1＝1＋3＋32＋…＋3n－1＝.2．(2018·四川成都市高中毕业第一次诊断)已知数列{an}满足a1＝－2，an＋1＝2an＋4.(1)证明：数列{an＋4}是等比数列；(2)求数列{|an|}的前n项和Sn.解析：(1)证明：∵a1＝－2，∴a1＋4＝2.∵an＋1＝2an＋4，∴an＋1＋4＝2an＋8＝2(an＋4)，∴＝2，∴{an＋4}是以2为首项，2为公比的等比数列．(2)由(1)，可知an＋4＝2n，∴an＝2n－4.当n＝1时，a1＝－2<0，∴S1＝|a1|＝2；当n≥2时，an≥0.∴Sn＝－a1＋a2＋…＋an＝2＋(22－4)＋…＋(2n－4)＝2＋22＋…＋2n－4(n－1)＝－4(n－1)＝2n＋1－4n＋2.又当n＝1时，上式也满足．∴当n∈N*时，Sn＝2n＋1－4n＋2.3．(2018·西安质检)等差数列{an}的各项均为正数，a1＝1，前n项和为Sn；数列{bn}为等比数列，b1＝1，且b2S2＝6，b2＋S3＝8.(1)求数列{an}与{bn}的通项公式；(2)求＋＋…＋.解析：(1)设等差数列{an}的公差为d，d>0，{bn}的公比为q，则an＝1＋(n－1)d，bn＝qn－1.依题意有，解得，或(舍去)．故an＝n，bn＝2n－1.(2)由(1)知Sn＝1＋2＋…＋n＝n(n＋1)，＝＝2(－)，∵＋＋…＋＝2[(1－)＋(－)＋…＋(－)]＝2(1－)＝.4．(2018·陕西省宝鸡市高三质检)已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2an－2.(1)求数列{an}的通项公式；(2)若数列的前n项和为Tn，求证：1≤Tn<3.解析：(1)当n＝1时，a1＝2.当n≥2时，Sn－1＝2an－1－2，所以an＝Sn－Sn－1＝2an－2－(2an－1－2)，即＝2(n≥2，n∈N*)，所以数列{an}是首项为2，公比为2的等比数列，故an＝2n(n∈N*)．(2)证明：令bn＝＝，则Tn＝＋＋＋…＋，①①×，得Tn＝＋＋＋…＋＋，②①－②，得Tn＝－，整理得Tn＝3－，由于n∈N*，显然Tn<3.又令cn＝，则＝<1，所以cn>cn＋1，所以≤c1＝2，所以Tn≥1.故1≤Tn<3.5．(2018·武汉市武昌区调研考试)设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝9，a2为整数，且Sn≤S5.(1)求{an}的通项公式；(2)设数列的前n项和为Tn，求证：Tn≤.解析：(1)由a1＝9，a2为整数可知，等差数列{an}的公差d为整数．又Sn≤S5，∴a5≥0，a6≤0，于是9＋4d≥0,9＋5d≤0，解得－≤d≤－.∵d为整数，∴d＝－2.故{an}的通项公式为an＝11－2n.(2)证明：由(1)，得＝＝，∴Tn＝＝.令bn＝，由函数f(x)＝的图象关于点(4.5,0)对称及其单调性，知0
