第十二章概率、随机变量及其分布12.5独立性及二项分布教师用书理苏教版1.条件概率及其性质(1)对于两个事件A和B,在已知事件B发生的条件下,事件A发生的概率叫做条件概率,用符号P(A|B)来表示,其公式为P(A|B)=(P(B)>0).在古典概型中,若用n(B)表示事件B中基本事件的个数,则P(A|B)=.(2)条件概率具有的性质①0≤P(B|A)≤1;②如果B和C是两个互斥事件,则P(B∪C|A)=P(B|A)+P(C|A).2.相互独立事件(1)设A,B为两个事件,若P(AB)=P(A)P(B),则称事件A与事件B相互独立.(2)若A与B相互独立,则P(B|A)=P(B),P(AB)=P(A)P(B|A)=P(A)P(B).(3)若A与B相互独立,则A与,与B,与也都相互独立.(4)若P(AB)=P(A)P(B),则A与B相互独立.3.二项分布(1)独立重复试验是指在相同条件下可重复进行的,各次之间相互独立的一种试验,在这种试验中每一次试验只有__两__种结果,即要么发生,要么不发生,且任何一次试验中发生的概率都是一样的.(2)在n次独立重复试验中,用X表示事件A发生的次数,设每次试验中事件A发生的概率为p,则P(X=k)=Cpk(1-p)n-k(k=0,1,2,…,n),此时称随机变量X服从二项分布,记为X~B(n,p),并称p为成功概率.【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)条件概率一定不等于它的非条件概率.(×)(2)相互独立事件就是互斥事件.(×)1(3)对于任意两个事件,公式P(AB)=P(A)P(B)都成立.(×)(4)二项分布是一个概率分布,其公式相当于(a+b)n二项展开式的通项公式,其中a=p,b=1-p.(×)(5)P(B|A)表示在事件A发生的条件下,事件B发生的概率,P(AB)表示事件A,B同时发生的概率.(√)1.袋中有3红5黑8个大小、形状相同的小球,从中依次摸出两个小球,则在第一次摸得红球的条件下,第二次仍是红球的概率为________.答案解析第一次摸出红球,还剩2红5黑共7个小球,所以再摸到红球的概率为.2.(教材改编)小王通过英语听力测试的概率是,他连续测试3次,那么其中恰有1次获得通过的概率是______.答案解析所求概率P=C·()1·(1-)3-1=.3.(2015·课标全国Ⅰ改编)投篮测试中,每人投3次,至少投中2次才能通过测试.已知某同学每次投篮投中的概率为0.6,且各次投篮是否投中相互独立,则该同学通过测试的概率为________.答案0.648解析3次投篮投中2次的概率为P(k=2)=C×0.62×(1-0.6),投中3次的概率为P(k=3)=0.63,所以通过测试的概率为P(k=2)+P(k=3)=C×0.62×(1-0.6)+0.63=0.648.4.(2016·镇江模拟)口袋里放有大小相同的两个红球和一个白球,每次有放回地摸取一个球,定义数列{an},an=如果Sn为数列{an}的前n项和,那么S7=3的概率为________________.(用式子作答)答案C×2×5解析由S7=3知,在前7次摸球中有2次摸取红球,5次摸取白球,而每次摸取红球的概率为,摸取白球的概率为,则S7=3的概率为C×2×5.5.(教材改编)国庆节放假,甲去北京旅游的概率为,乙去北京旅游的概率为,假定二人的行动相互之间没有影响,那么这段时间内至少有1人去北京旅游的概率为________.2答案解析记在国庆期间“甲去北京旅游”为事件A,“乙去北京旅游”为事件B,又P()=P()·P()=[1-P(A)][1-P(B)]=(1-)(1-)=,“甲、乙二人至少有一人去北京旅游”的对立事件为“甲、乙二人都不去北京旅游”,故所求概率为1-P()=1-=.题型一条件概率例1(1)从1,2,3,4,5中任取2个不同的数,事件A为“取到的2个数之和为偶数”,事件B为“取到的2个数均为偶数”,则P(B|A)=________.(2)如图所示,EFGH是以O为圆心,半径为1的圆的内接正方形,将一粒豆子随机地扔到该圆内,用A表示事件“豆子落在正方形EFGH内”,B表示事件“豆子落在扇形OHE(阴影部分)内”,则P(B|A)=________.答案(1)(2)解析(1)P(A)==,P(AB)==,P(B|A)==.(2)AB表示事件“豆子落在△OEH内”,P(B|A)===.引申探究1.若将本例(1)中的事件B:“取到的2个数均为偶数”改为“取到的2个数均为奇数”,则结果如何?解P(A)==,P(B)==,又A⊇B,则P(AB)=P(B)=,所以P(B|A)===.2.在本例(2)的条件下,求P(A|B).解由题意知,∠EOH=90°,故P(B)=,3又 P(AB)===,∴P(A|B...