第3课时定点、定值、探索性问题题型一定点问题例1(2016·镇江模拟)已知椭圆＋＝1(a>0，b>0)过点(0,1)，其长轴、焦距和短轴的长的平方依次成等差数列．直线l与x轴正半轴和y轴分别交于点Q、P，与椭圆分别交于点M、N，各点均不重合且满足PM＝λ1MQ，PN＝λ2NQ.(1)求椭圆的标准方程；(2)若λ1＋λ2＝－3，试证明：直线l过定点并求此定点．(1)解设椭圆的焦距为2c，由题意知b＝1，且(2a)2＋(2b)2＝2(2c)2，又a2＝b2＋c2，∴a2＝3.∴椭圆的方程为＋y2＝1.(2)证明由题意设P(0，m)，Q(x0,0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，设l方程为x＝t(y－m)，由PM＝λ1MQ知(x1，y1－m)＝λ1(x0－x1，－y1)，∴y1－m＝－y1λ1，由题意y1≠0，∴λ1＝－1.同理由PN＝λ2NQ知λ2＝－1. λ1＋λ2＝－3，∴y1y2＋m(y1＋y2)＝0，①联立得(t2＋3)y2－2mt2y＋t2m2－3＝0，∴由题意知Δ＝4m2t4－4(t2＋3)(t2m2－3)>0，②且有y1＋y2＝，y1y2＝，③将③代入①得t2m2－3＋2m2t2＝0，∴(mt)2＝1，由题意mt<0，∴mt＝－1，满足②，得直线l方程为x＝ty＋1，过定点(1,0)，即Q为定点．思维升华圆锥曲线中定点问题的两种解法(1)引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点．(2)特殊到一般法：根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关．(2016·河北衡水中学调研)如图，已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率e＝，F是右焦点，A是右顶点，B是椭圆上一点，BF⊥x轴，BF＝.(1)求椭圆C的方程；(2)设直线l：x＝ty＋λ是椭圆C的一条切线，点M(－，y1)，点N(，y2)是切线l上两个点，证明：当t，λ变化时，以MN为直径的圆过x轴上的定点，并求出定点坐标．解(1)由题意设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，①焦点F(c,0)，因为＝，②将点B(c，)的坐标代入方程①得＋＝1.③由②③结合a2＝b2＋c2，得a＝，b＝1.故所求椭圆方程为＋y2＝1.(2)由得(2＋t2)y2＋2tλy＋λ2－2＝0.1因为l为切线，所以Δ＝(2tλ)2－4(t2＋2)(λ2－2)＝0，即t2－λ2＋2＝0.④设圆与x轴的交点为T(x0,0)，则TM＝(－－x0，y1)，TN＝(－x0，y2)．因为MN为圆的直径，故TM·TN＝x－2＋y1y2＝0.⑤当t＝0时，不符合题意，故t≠0.因为y1＝，y2＝，所以y1y2＝，代入⑤结合④得TM·TN＝＝，要使上式为零，当且仅当x＝1，解得x0＝±1.所以T为定点，故动圆过x轴上的定点(－1,0)与(1,0)，即椭圆的两个焦点．题型二定值问题例2如图，已知椭圆C：＋＝1，点B是其下顶点，过点B的直线交椭圆C于另一点A(点A在x轴下方)，且线段AB的中点E在直线y＝x上．(1)求直线AB的方程；(2)若点P为椭圆C上异于A，B的动点，且直线AP，BP分别交直线y＝x于点M，N，证明：OM·ON为定值．(1)解由已知得B(0，－2)．设E(λ，λ)，则A(2λ，2λ＋2)．把A的坐标代入椭圆方程，得＋(λ＋1)2＝1，即λ2＋2λ＝0.则λ＝－(λ＝0舍去)，得A(－3，－1)．由kAB＝＝－，得直线AB的方程为y＝－x－2，即x＋3y＋6＝0.(2)证明设M(m，m)，N(n，n)，P(x0，y0)，则x＋3y＝12.由A，P，M共线，即AP∥AM，得(x0＋3)(m＋1)＝(y0＋1)(m＋3)，则m＝.由B，P，N共线，即BP∥BN，得x0(n＋2)＝(y0＋2)n，则n＝.所以mn＝2＝＝＝3.从而OM·ON＝|m|·|n|＝6为定值．思维升华圆锥曲线中的定值问题的常见类型及解题策略(1)求代数式为定值．依题意设条件，得出与代数式参数有关的等式，代入代数式、化简即可得出定值．(2)求点到直线的距离为定值．利用点到直线的距离公式得出距离的解析式，再利用题设条件化简、变形求得．(3)求某线段长度为定值．利用长度公式求得解析式，再依据条件对解析式进行化简、变形即可求得．(2016·扬州模拟)如图，在平面直角坐标系xOy中，点F(，0)，直线l：x＝－，点P在直线l上移动，R是线段PF与y轴的交点，RQ⊥FP，PQ⊥l.(1)求动点Q的轨迹C的方程；(2)设圆M过A(1,0)，且圆心M在曲线C上，TS是圆M在y轴上截得的弦，当M运动时，弦长TS是否为定值？请说明理由．解(1)依题意知，点R是线段FP的中点，且RQ⊥FP，∴RQ是线段FP的垂直平分线． 点Q在线段FP的垂直平分线上，∴PQ＝QF，又PQ是点Q到直线l的距离，故动点Q的轨迹是以F为焦点，l为准线的抛物线...
