九年级数学寒假专题—直线和圆的位置关系首师大版【同步教育信息】一.本周教学内容：寒假专题——直线和圆的位置关系（一）切线长定理［知识重点］理解切线长的概念，掌握切线长定理，并会运用它解决有关问题。例1.梯形ABCD有内切圆，则其中位线长等于两腰和的一半。证明：如图1所示，E、F、G、H为切点。图1即：这个梯形的上、下底和等于二腰之和，所以其中位线的长等于两腰和的一半。思考与探索：从圆外一点引圆的两条切线，只要适当添加一条线段便可得到三角形及其内切圆，如图2所示，对切线PA、PB，只要A、B选择合适，总可使AB与圆O相切，从而成为△PAB及其内切圆O的问题。当E、F为切点时，就有：PO是∠P的分角线；OE⊥PE；PF⊥OF；Rt△POE≌Rt△POF等结论。当然也有PE＝PF。有时把一个局部恢复成整体，会得到新的更多的理解。图2例2.已知△ABC的边长为a、b、c，试求以B为端点的切线长。解：如图3所示，AB＝c，BC＝a，AC＝b。图3设以B为端点的切线长为lb，以A为端点的切线长为la，以C点为端点的切线长为lc，则有：思考与探索：例3.已知五边形ABCDE的内切圆的半径为5cm，若∠5＝90°，∠B＝120°，求AB的长。解：如图4所示，O为内切圆圆心，F为切点，BC、BA、AE均为切线。图4思考与探索：从本例可以看到：就是说：若多边形有内切圆，则有任一顶角A处的切线长与A/2的正切的乘积是一个常数r（内切圆半径）。［知识小结］对于一（1）（请见模拟试题一）题图形，看到这个图形，马上能得到如下结论：PA＝PB（切线长），PO平分∠APB，AB⊥OP，O、B、P、A四点共圆，∠AOP＝∠BAP，∠OAB＝∠OPB，∠APB越大，OP越小，但OP不能小于r（圆O半径）。要求能自己从图形中看出来，而且对于变化的图形也能做到，如图所示。（二）弦切角［知识重点］理解弦切角的概念，掌握弦切角定理及推论，并会运用它们解决有关问题。再一次用到分情况证明的思想和方法。例1.如图1所示，已知PA切圆O于A点，∠PAB＝∠CAD，求证：BC//AD。图1证明：因为弦切角PAB等于它所夹弧对的圆周角BCA。思考与探索：弦切角是圆周角的一种特殊情形，或者说一种极限情形：角的一边与圆相交，另一边与圆相切，从而理解弦切角定理及其推论。利用弦切角定理及其推论，容易证明：过一点的圆的两条切线与切点弦所成的两个角相等，从而也证得切线长定理。例2.如图2，PA切圆O于点A，PB是圆O的割线，交圆O于B、C两点，求证：△ACP∽△BAP。图2证明：思考与探索：由△ACP∽△BAP例3.如图3，圆O1的弦AB切圆O2于A点，圆O2的弦AC切圆O1于A点，圆O1和圆O2交于A、D两点。求证：∠ADC＝∠ADB图3证明：对于圆O1，∠CAD是弦切角，所夹弧为弧AD，而弧AD所对的圆周角为∠B，所以∠CAD＝∠B。同理，对于圆O2，有：∠BAD＝∠ACD。在△ABD与△ADC中，有两个角分别相等，所以第三个角也相等。思考与探索1：其实这两个三角形相似思考与探索2：若B、D、C在一条直线上，则有图4图4例4.如图5，BC切圆O于D，AC、AB分别交圆O于F、E两点，且∠B＝∠AEF，A在圆O上，求证：AD为∠A平分线。图5证明：由弦切角、圆周角定理，有：思考与探索：要利用平行这个条件，又要利用切线这个条件，连结DE是很好的办法，当然，连结FD也能达到目的。换一种想法，切线与弦平行，则所夹的两段弧相等，于是直接可证得AD为∠A的平分线。而切线与弦平行，所夹的两段弧相等，是从切线是弦的极限位置的看法得到，而两平行弦所截得的两段弧相等。由此还可以想到两条平行切线间所夹弧相等，都是半圆。［知识小结］弦切角定理的证明，又一次运用了分情况讨论的方法，有一边是直径，圆心在圆周角内和圆心在圆周角外，方法还是过圆心添加辅助线，成为第一种情形。利用弦切角定理又可以得到许多相似三角形，例如前面例题中提到的情形，在今后学习中也是经常用到的。（三）和圆有关的比例线段理解并能准确地表述相交弦定理，切割线定理及其推论，能够应用它们解有关的计算和证明题，会作两条线段的比例中项。例1.如图1，PC切圆O于C，CD弦交AB弦于AB的中点E，直线PE交圆O于B、A两点，且A是PE的中点，PE＝10。（1）求PC的值；（2）求CE·DE的值。图1解：思考与探索：相交弦定理中，有四条线段的...
