第17讲圆锥曲线的定义、方程与性质题型一|圆锥曲线的定义及其标准方程(1)设F1，F2分别是椭圆E：x2＋＝1(00)．又 AF1＝3F1B，由AF1＝3F1B得B，代入x2＋＝1得＋＝1，又c2＝1－b2，∴b2＝.故椭圆E的方程为x2＋y2＝1.(2)根据已知条件画出图形，如图．设MN的中点为P，F1，F2为椭圆C的焦点，连结PF1，PF2.显然PF1是△MAN的中位线，PF2是△MBN的中位线，∴AN＋BN＝2PF1＋2PF2＝2(PF1＋PF2)＝2×6＝12.]【名师点评】1.圆锥曲线方程的求法求解圆锥曲线标准方程的方法是“先定型，后计算”．定型就是指定类型，也就是确定圆锥曲线的焦点位置，从而设出标准方程．2．数形结合，画出图形．根据椭圆的定义及几何性质求解．1．在平面直角坐标系xOy中，已知方程－＝1表示双曲线，则实数m的取值范围为________．(－2,4)[由题意可知(4－m)(2＋m)>0，解得－20，b>0)的一条渐近线的斜率为，且右焦点与抛物线y2＝4x的焦点重合，则该双曲线的方程为________．x2－＝1[由双曲线的方程得其渐近线方程为y＝x，则＝，b＝a，又抛物线的焦点为(，0)，则双曲线的右焦点为(，0)，即c＝，可解得a＝1，b＝，故双曲线的方程为x2－＝1.]3．如图17－1，正方形ABCD和正方形DEFG的边长分别为a，b(a0)经过C，F两点，则＝________.图17－1＋1[ 正方形ABCD的正方形DEFG的边长分别为a，b，O为AD的中点，∴C，F.又 点C，F在抛物线y2＝2px(p>0)上，∴解得＝＋1.]题型二|圆锥曲线的几何性质(1)在平面直角坐标系xOy中，若中心在坐标原点上的双曲线的一条准线方程为x＝，且它的一个顶点与抛物线y2＝－4x的焦点重合，则该双曲线的渐近线方程为________．(2)过点M(1,1)作斜率为－的直线与椭圆C：＋＝1(a>b>0)相交于A，B两点，若M是线段AB的中点，则椭圆C的离心率等于________．(1)y＝±x(2)[(1) 抛物线的焦点为(－1,0)，∴a＝1.又＝，∴c＝2，b＝.从而双曲线的渐近线方程为y＝±x，即y＝±x.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则∴＋＝0，∴＝－·. ＝－，x1＋x2＝2，y1＋y2＝2，∴－＝－，∴a2＝2b2.又 b2＝a2－c2，∴a2＝2(a2－c2)，∴a2＝2c2，∴＝.]【名师点评】1.两类离心率的求法：一是利用定义、方程、性质求出a，c，进而求e；二是运用条件构建关于a，c的齐次方程，变形求e.2．两类离心率的变形应用：(1)椭圆的离心率e：e2＝＝1－，＝；(2)双曲线的离心率e：e2＝＝1＋，＝.1．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率为，则双曲线C的渐近线方程为________．【导学号：19592051】y＝±x[双曲线C的渐近线方程为y＝±x，离心率为e＝＝，所以＝＝，＝，即＝，故渐近线方程为y＝±x.]2．(2016·苏北三市三模)已知点F为抛物线y2＝4x的焦点，该抛物线上位于第一象限的点A到其准线的距离为5，则直线AF的斜率为________．[由题意可知F(1,0)，又由抛物线的定义可知AF＝xA＋1，又AF＝5，故xA＝4.∴yA＝4(yA＝－4舍去)．∴kAF＝＝.]3．双曲线C：－＝1(a>0，b>0)与抛物线y2＝2px(p>0)相交于A，B两点，公共弦AB恰好过它们的公共焦点F，则双曲线C的离心率为________．＋1[抛物线的焦点为F，且c＝，所以p＝2c.根据对称性可知公共弦AB⊥x轴，且AB的方程为x＝，当x＝时，yA＝p，所以A.又因为双曲线左焦点F1的坐标为，所以AF1＝＝p，又AF＝p，所以p－p＝2a，即(－1)×2c＝2a，所以＝＝＋1.]题型三|直线与圆锥曲线的位置关系(1)设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为________．(2)已知双曲线x2－＝1上存在两点M，N关于直线y＝x＋m对称，且MN的中点在抛物线y2＝18x上，则实数m的值为________．(1)(2)0或－8[(1)由已知得焦点坐标为F，因此直线AB的方程为y＝，即4x－4...
